Fiche de révision maths Terminale STI2D : Transformations du plan par les complexes

TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna

Cette fiche de révision de maths en Terminale STI2D résume le chapitre Transformations du plan par les complexes. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.

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Fiche ultra-synthèse — Transformations du plan par les complexes
Translation • rotation • homothétie • similitude directe • point fixe. Objectif : reconnaître immédiatement la nature géométrique d’une écriture \(z' = az+b\).
Essentiel Méthodes Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel (à connaître par cœur)
1 Translation
\[ z' = z+b \] est la translation de vecteur d’affixe \(\boxed{b}\).
2 Multiplication par \(a\)
\[ z' = az \] est une transformation de centre \(O\), de rapport \(\boxed{|a|}\) et d’angle \(\boxed{\arg(a)}\).
3 Rotation
Si \(|a|=1\), alors \(z' = az\) est une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\arg(a)\).
4 Homothétie
Si \(a\) est réel positif, alors \(z' = az\) est une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(a\).
5 Similitude directe
\[ z' = az+b \qquad (a\neq 0) \] est une similitude directe.
6 Point fixe
Si \(a\neq 1\), le point fixe de \[ z' = az+b \] a pour affixe \[ \boxed{z=\frac{b}{1-a}}. \]
Méthodes rapides
A Identifier la nature
  1. Repérer \(a\) et \(b\).
  2. Si \(a=1\), c’est une translation.
  3. Si \(b=0\), étudier \(z'=az\).
  4. Calculer \(|a|\) et \(\arg(a)\).
B Lire l’effet géométrique
Rapport = \(|a|\) Angle = \(\arg(a)\) Déplacement global = \(b\)
C Trouver le point fixe
Résoudre \(z = az+b\) \[ (1-a)z=b \quad\Rightarrow\quad z=\frac{b}{1-a} \]
D Calculer l’image d’un point
Si \(z_M\) est connu : \[ z_{M'} = a z_M + b \] Puis on passe en forme algébrique.
Pièges classiques
1 Translation
Ne pas confondre \(b\) avec un centre. Dans \(z' = z+b\), \(b\) donne un vecteur.
2 Rotation
Si \(|a|\neq 1\), ce n’est pas une simple rotation.
3 Point fixe
Ne pas oublier de résoudre \(z'=z\), pas \(z'=0\).
Réflexe : toujours commencer par écrire clairement \[ a,\quad b,\quad |a|,\quad \arg(a). \]
Mini-tests (corrigés rapides)
Q1 Translation
Nature de \(z' = z+2-3i\) ?
Corrigé : translation de vecteur d’affixe \(2-3i\).
Q2 Rotation
Nature de \(z' = iz\) ?
Corrigé : rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
Q3 Homothétie
Nature de \(z' = 3z\) ?
Corrigé : homothétie de centre \(O\) et de rapport \(3\).
Q4 Similitude
Rapport de \(z'=(1+i)z+2\) ?
Corrigé : \(|1+i|=\sqrt2\).
Q5 Point fixe
Point fixe de \(z' = 2z+1\) ?
Corrigé : \(z=\frac{1}{1-2}=-1\).
Q6 Image
Image de \(1+i\) par \(z' = z+i\) ?
Corrigé : \(1+2i\).
Checklist avant contrôle
Je sais faire
  • Reconnaître \(z'=z+b\).
  • Reconnaître \(z'=az\).
  • Calculer \(|a|\) et \(\arg(a)\).
  • Décrire une similitude \(z'=az+b\).
  • Trouver un point fixe.
  • Calculer l’image d’un point par substitution.
Réflexes 20/20
1) Je lis d’abord \(a\) et \(b\).
2) Je calcule \(|a|\) avant de conclure.
3) Je pense au point fixe si on me demande le centre.
À bannir : “rotation” sans vérifier \(|a|=1\), oublier \(\arg(a)\), ou confondre translation et similitude.
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