Exercices corrigés — Transformations Du Plan Par Les Complexes (Tle STI2D)

(a) Comme l’écriture est \(z' = z + (3-2i)\), il s’agit d’une translation.

(b) Le vecteur de translation a pour affixe \(3-2i\), donc pour coordonnées \((3;-2)\).

(c) \[ z' = (1+4i)+(3-2i)=4+2i. \] L’image est donc le point d’affixe \(\boxed{4+2i}\).

(d) \[ z' = (-2-i)+(3-2i)=1-3i. \] L’image est donc le point d’affixe \(\boxed{1-3i}\).

(a) On a \(|i|=1\), donc la transformation \(z' = iz\) est une rotation de centre \(O\).

(b) Comme \(\arg(i)=rac{\pi}{2}\), l’angle est \(\boxed{rac{\pi}{2}}\).

(c) \[ z' = i(2+i)=2i+i^2=2i-1=-1+2i. \] L’image de \(2+i\) est \(\boxed{-1+2i}\).

(d) \[ z' = i(-1+3i)=-i+3i^2=-i-3=-3-i. \] L’image de \(-1+3i\) est \(\boxed{-3-i}\).

(a) Comme \(z' = 2z\) avec \(2>0\), on a une homothétie de centre \(O\).

(b) Son rapport est \(\boxed{2}\).

(c) \[ z' = 2(1-2i)=2-4i. \] L’image est \(\boxed{2-4i}\).

(d) Toute distance à l’origine est multipliée par \(2\).

(a) \[ |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \]

(b) Un argument de \(1+i\) est \(\boxed{rac{\pi}{4}}\).

(c) La transformation est une similitude de centre \(O\), de rapport \(\boxed{\sqrt2}\) et d’angle \(\boxed{rac{\pi}{4}}\).

(d) \[ z'=(1+i)\cdot 1 = 1+i. \] L’image de \(1\) est \(\boxed{1+i}\).

(a) Comme \(a=1+i eq 0\), l’écriture \(z'=az+b\) définit une similitude directe.

(b) On a \(|a|=\sqrt2\) et \(\arg(a)=rac{\pi}{4}\).

(c) \[ z'=(1+i)i+2=i+i^2+2=i-1+2=1+i. \] L’image de \(i\) est \(\boxed{1+i}\).

(d) Le point fixe vérifie \[ z=(1+i)z+2. \] Donc \[ (1-(1+i))z=2 \Longrightarrow -iz=2 \Longrightarrow z=rac{2}{-i}=2i. \] Le point fixe a pour affixe \(\boxed{2i}\).

(a) Le coefficient \[ a=rac{1}{2}+rac{\sqrt3}{2}i \] est non nul et de module 1. On a donc une rotation suivie d’une translation, autrement dit une similitude directe.

(b) On reconnaît \[ a=\cosrac{\pi}{3}+i\sinrac{\pi}{3}, \] donc l’angle est \(\boxed{rac{\pi}{3}}\).

(c) \[ z=rac{1}{1-a} = rac{1}{1-\left(rac12+rac{\sqrt3}{2}i ight)} = rac{1}{rac12-rac{\sqrt3}{2}i}. \] On rationalise : \[ z=rac{rac12+rac{\sqrt3}{2}i}{\left(rac12 ight)^2+\left(rac{\sqrt3}{2} ight)^2} = rac{rac12+rac{\sqrt3}{2}i}{1} = rac12+rac{\sqrt3}{2}i. \] Le point fixe est donc \(\boxed{rac12+rac{\sqrt3}{2}i}\).

(d) Il s’agit d’une rotation de centre le point fixe trouvé, et d’angle \(\boxed{rac{\pi}{3}}\).

(a) \(|-i|=1\) et un argument de \(-i\) est \(\boxed{-rac{\pi}{2}}\).

(b) Comme \(|a|=1\), il s’agit d’une rotation-translation, donc d’une similitude directe. Plus précisément, ce sera une rotation de centre le point fixe, d’angle \(\boxed{-rac{\pi}{2}}\).

(c) Le point fixe vérifie \[ z=-iz+2-i. \] Donc \[ (1+i)z=2-i \quad\Longrightarrow\quad z=rac{2-i}{1+i}. \] Rationalisation : \[ z=rac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} =rac{2-2i-i+i^2}{2} =rac{1-3i}{2}. \] Le point fixe est \(\boxed{rac{1-3i}{2}}\).

(d) \[ z'=-i(1+i)+(2-i)=-i-i^2+2-i=-i+1+2-i=3-2i. \] L’image de \(1+i\) est \(\boxed{3-2i}\).

(a) \(T\) est une translation car \(z'=z+b\).

(b) Le vecteur associé a pour affixe \(-1+4i\), donc pour coordonnées \((-1;4)\).

(c) \[ z'=(2-3i)+(-1+4i)=1+i. \] L’image est \(\boxed{1+i}\).

(d) \[ z'=(-4+2i)+(-1+4i)=-5+6i. \] L’image est \(\boxed{-5+6i}\).

(a) \(|-1|=1\) et un argument de \(-1\) est \(\boxed{\pi}\).

(b) \(z'=-z\) est une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\boxed{\pi}\).

(c) \[ z'=-(3-2i)=-3+2i. \] L’image est \(\boxed{-3+2i}\).

(d) \[ z'=-(-1+i)=1-i. \] L’image est \(\boxed{1-i}\).

(a) Comme \(|-i|=1\), la transformation est une rotation de centre \(O\).

(b) Un argument de \(-i\) est \(\boxed{-rac{\pi}{2}}\).

(c) \[ z'=-i(2+i)=-2i-i^2=1-2i. \] L’image est \(\boxed{1-2i}\).

(d) \[ z'=-i(-3+2i)=3i-2i^2=2+3i. \] L’image est \(\boxed{2+3i}\).

(a) \(|-2|=2\) et un argument de \(-2\) est \(\boxed{\pi}\).

(b) La transformation est une similitude de centre \(O\), de rapport \(2\), et d’angle \(\pi\). On peut la voir comme une homothétie de rapport 2 suivie d’un demi-tour.

(c) \[ z'=-2(1-i)=-2+2i. \] L’image est \(\boxed{-2+2i}\).

(d) \[ z'=-2(-2+3i)=4-6i. \] L’image est \(\boxed{4-6i}\).

(a) \(|2i|=\boxed{2}\).

(b) Un argument de \(2i\) est \(\boxed{rac{\pi}{2}}\).

(c) La transformation est une similitude de centre \(O\), de rapport \(\boxed{2}\) et d’angle \(\boxed{rac{\pi}{2}}\).

(d) \[ z'=2i(1+2i)=2i+4i^2=-4+2i. \] L’image est \(\boxed{-4+2i}\).

(a) \(z'=z+3i\) : translation.

(b) \(z'=-iz\) : rotation de centre \(O\), angle \(-rac{\pi}{2}\).

(c) \(z'=3z\) : homothétie de centre \(O\), rapport 3.

(d) \(z'=(1-i)z+2\) : similitude directe, de rapport \(\sqrt2\), d’angle \(-rac{\pi}{4}\), suivie d’une translation.

(a) \[ z=2z+1 \Rightarrow -z=1 \Rightarrow \boxed{z=-1}. \]

(b) \[ z=iz+1 \Rightarrow (1-i)z=1 \Rightarrow z=rac{1+i}{2}. \] Donc \(\boxed{z=rac{1+i}{2}}\).

(c) \[ z=-z+4 \Rightarrow 2z=4 \Rightarrow \boxed{z=2}. \]

(d) \[ z=(1+i)z+i \Rightarrow -iz=i \Rightarrow z=-1. \] Donc \(\boxed{z=-1}\).

(a) \[ z=rac{2}{1+i}=rac{2(1-i)}{2}=1-i. \] Donc \(\boxed{z=1-i}\).

(b) \[ z=rac{3i}{1-rac12}=rac{3i}{rac12}=6i. \] Donc \(\boxed{z=6i}\).

(c) \[ z=rac{1}{1-(2-i)}=rac{1}{-1+i}. \] Rationalisation : \[ z=rac{-1-i}{(-1+i)(-1-i)}=rac{-1-i}{2}. \] Donc \(\boxed{z=-rac12-rac12 i}\).

(d) \[ z=rac{-3i}{1-(-2)}=rac{-3i}{3}=-i. \] Donc \(\boxed{z=-i}\).

(a) \(|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\boxed{\sqrt2}\).

(b) Un argument est \(\boxed{-rac{\pi}{4}}\).

(c) \[ z'=(1-i)\cdot2+3=2-2i+3=5-2i. \] L’image est \(\boxed{5-2i}\).

(d) \[ z'=(1-i)(1+i)+3=1-i^2+3=2+3=5. \] L’image est \(\boxed{5}\).

(a) \(T\) est une translation de vecteur d’affixe \(2i\).

(b) \(R\) est une rotation de centre \(O\) et d’angle \(rac{\pi}{2}\).

(c) \[ T(1)=1+2i. \] Donc l’image est \(\boxed{1+2i}\).

(d) \[ R(1)=i. \] Donc l’image est \(\boxed{i}\).

(a) \[ b=(4-i)-(1+2i)=3-3i. \] Donc l’affixe du vecteur est \(\boxed{3-3i}\).

(b) La translation s’écrit \(\boxed{z'=z+(3-3i)}\).

(c) \[ z'=(-2+3i)+(3-3i)=1. \] L’image est \(\boxed{1}\).

(d) \[ z'=5+(3-3i)=8-3i. \] L’image est \(\boxed{8-3i}\).

(a) Le module est \(\boxed{\sqrt3}\).

(b) L’argument est \(\boxed{rac{\pi}{6}}\).

(c) Le rapport de la transformation est \(\boxed{\sqrt3}\).

(d) L’angle de la transformation est \(\boxed{rac{\pi}{6}}\).

(a) Le coefficient multiplicatif est \[ a=\sqrt3+i. \] Comme \(a eq 0\), l’écriture \(z'=az+b\) définit une similitude directe.

(b) \[ |a|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2. \] Le rapport est donc \(\boxed{2}\).

(c) On reconnaît \[ \sqrt3+i = 2\left(rac{\sqrt3}{2}+rac12 i ight) =2\left(\cosrac{\pi}{6}+i\sinrac{\pi}{6} ight). \] Donc un argument de \(a\) est \(\boxed{rac{\pi}{6}}\).

(d) \[ z'=(\sqrt3+i)\cdot1+(1-2i)=1+\sqrt3-i. \] L’image de \(1\) est donc \(\boxed{1+\sqrt3-i}\).