Quiz — Transformations du plan par les complexes
Quiz — Transformations du plan par les complexes
20 questions : translations, rotations, homothéties, similitudes, points fixes et interprétation géométrique.
Q1. La transformation \(z' = z + (2-3i)\) est :
Non vérifié
Indice
Une écriture \(z'=z+b\) correspond à une translation.
Correction
Comme \(z'=z+b\), c’est une translation de vecteur d’affixe \(2-3i\).
Q2. Le vecteur de translation associé à \(z' = z-4+i\) a pour affixe :
Non vérifié
Indice
Le vecteur est exactement le terme ajouté.
Correction
Le terme ajouté est \(-4+i\).
Q3. La transformation \(z' = iz\) est :
Non vérifié
Indice
Le module de \(i\) vaut 1.
Correction
\(|i|=1\), donc \(z'=iz\) est une rotation de centre \(O\).
Q4. L’angle de la rotation \(z' = iz\) est :
Non vérifié
Indice
Chercher un argument de \(i\).
Correction
On a \(i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\).
Q5. La transformation \(z' = 3z\) est :
Non vérifié
Indice
Le coefficient est réel positif.
Correction
Comme \(3>0\) est réel, \(z'=3z\) est une homothétie de centre \(O\), de rapport 3.
Q6. Le rapport de la transformation \(z' = (1+i)z\) est :
Non vérifié
Indice
Calculer \(|1+i|\).
Correction
\(|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
Q7. Un argument de \(1+i\) est :
Non vérifié
Indice
Le point \((1;1)\) est sur la première bissectrice.
Correction
Un argument de \(1+i\) est \(\frac{\pi}{4}\).
Q8. La transformation \(z' = az+b\) avec \(a\neq 0\) est :
Non vérifié
Indice
C’est la forme générale étudiée au chapitre.
Correction
Toute écriture \(z'=az+b\) avec \(a\neq 0\) définit une similitude directe.
Q9. Le point fixe de \(z' = 2z+1\) a pour affixe :
Non vérifié
Indice
Résoudre \(z=2z+1\).
Correction
\(z=2z+1 \Rightarrow -z=1 \Rightarrow z=-1\).
Q10. L’image de \(z=1+i\) par la translation \(z'=z+i\) est :
Non vérifié
Indice
Ajouter simplement \(i\).
Correction
\((1+i)+i=1+2i\).
Q11. L’image de \(z=2+i\) par \(z'=iz\) est :
Non vérifié
Indice
Développer \(i(2+i)\).
Correction
\(i(2+i)=2i+i^2=-1+2i\).
Q12. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies pour une translation ?
Non vérifié
Indice
Une translation conserve la forme et l’orientation.
Correction
Une translation conserve longueurs, angles et orientation, et déplace tous les points selon le même vecteur.
Q13. Si \(z' = az\), alors les affirmations vraies sont :
Non vérifié
Indice
Revoir l’interprétation géométrique de la multiplication par \(a\).
Correction
Pour \(z'=az\), le centre est \(O\), le rapport vaut \(|a|\), l’angle vaut \(\arg(a)\).
Q14. Si \(|a|=1\), alors \(z'=az\) est :
Non vérifié
Indice
Le module 1 conserve les distances à l’origine.
Correction
Quand \(|a|=1\), on a une rotation de centre \(O\). Une rotation est une isométrie.
Q15. Donner le point fixe de \(z' = iz + 1\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(z=iz+1\).
Correction
\(z=iz+1 \Rightarrow (1-i)z=1 \Rightarrow z=\frac{1+i}{2}\).
Q16. Calculer l’image de \(z=1\) par \(z'=(1+i)z\).
Non vérifié
Indice
Remplacer \(z\) par 1.
Correction
\((1+i)\cdot 1 = 1+i\).
Q17. Donner le rapport de la similitude \(z'=(1+i)z+2\).
Non vérifié
Indice
Le rapport vaut \(|a|\).
Correction
\(|1+i|=\sqrt2\).
Q18. Donner un angle de la transformation \(z'=-iz+b\).
Non vérifié
Indice
Chercher un argument de \(-i\).
Correction
Un argument de \(-i\) est \(-\frac{\pi}{2}\) ou \(\frac{3\pi}{2}\).
Q19. Calculer l’image de \(z=1+i\) par \(z'=-iz+(2-i)\).
Non vérifié
Indice
Calculer d’abord \(-i(1+i)\).
Correction
\(-i(1+i)=1-i\), puis \(1-i+2-i=3-2i\).
Q20. Si \(z' = z + (a+bi)\), donner les coordonnées du vecteur de translation.
Non vérifié
Indice
Lire directement la partie réelle et la partie imaginaire.
Correction
Le vecteur a pour coordonnées \((a;b)\).
Q21. Compléter : dans \(z' = az\), les longueurs sont multipliées par ____ .
Non vérifié
Indice
C’est le module de \(a\).
Correction
Le coefficient multiplicatif des longueurs est \(|a|\).