Transformations Plan Complexes | Cours — Terminale STI2D Maths | Learna

Cours — Transformations du plan par les complexes

Translations \(z\mapsto z+b\) • rotations et homothéties \(z\mapsto az\) avec \(a\neq 0\) • cas \(|a|=1\) • écriture \(z' = az+b\) • interprétation géométrique dans le plan complexe.

Objectifs Rappels Translation Rotation / Homothétie Similitude \(az+b\) Point fixe Méthodes Formulaire

1) Objectifs du chapitre

Compétences attendues

Reconnaître une translation à partir de \(z' = z+b\).
Reconnaître une rotation ou une homothétie à partir de \(z' = az\).
Interpréter géométriquement le nombre complexe \(a\).
Étudier une transformation de la forme \(z' = az+b\).
Déterminer un point fixe éventuel.
Décrire l’effet sur les longueurs, les angles et l’orientation.

Idées essentielles

Dans le plan complexe :

\(z' = z+b\) traduit tous les points du même vecteur.
\(z' = az\) combine une rotation et une homothétie de centre \(O\).
\(z' = az+b\) est une similitude directe si \(a\neq 0\).

2) Rappels sur l’écriture complexe

Affixe d’un point

À tout point \(M(x;y)\), on associe le nombre complexe \[ z_M = x+iy. \] On dit que \(z_M\) est l’affixe de \(M\).

Forme trigonométrique

Si \(a\neq 0\), on peut écrire \[ a = |a|(\cos\theta+i\sin\theta). \] Le module \(|a|\) agit sur les longueurs, et l’argument \(\theta\) agit sur les angles.

Lecture géométrique clé : multiplier par un complexe \(a\) revient à :

multiplier les distances à l’origine par \(|a|\),
ajouter l’angle \(\arg(a)\) aux directions.

3) Translation : \(z' = z+b\)

Définition

La transformation \[ z' = z+b \] est la translation de vecteur d’affixe \(b\).

Si \(b=u+iv\), alors tous les points se déplacent du vecteur \((u;v)\).

Effets géométriques

Les longueurs sont conservées.
Les angles sont conservés.
L’orientation est conservée.
Les figures sont simplement “déplacées”.

Exemple 1 — Déterminer l’image d’un point

On considère \(T : z' = z + (2-3i)\). Soit \(M\) d’affixe \(z = 1+4i\).

\[ z' = (1+4i) + (2-3i) = 3+i. \] Donc l’image \(M'\) a pour affixe \(\boxed{3+i}\), donc pour coordonnées \((3;1)\).

Exemple 2 — Lire le vecteur de translation

Si \[ z' = z - 5 + 2i, \] alors le vecteur de translation a pour affixe \[ b = -5 + 2i. \] C’est donc le vecteur de coordonnées \(\boxed{(-5;2)}\).

4) Rotation et homothétie : \(z' = az\)

Principe fondamental

Soit \(a\neq 0\). La transformation \[ z' = az \] est une transformation de centre \(O\) :

de rapport \(|a|\),
et d’angle \(\arg(a)\).

Cas 1 : \(|a|=1\)

Il s’agit d’une rotation de centre \(O\) d’angle \(\arg(a)\).

Cas 2 : \(a>0\) réel

Il s’agit d’une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(a\).

Cas 3 : \(a<0\) réel

Il s’agit d’une homothétie de rapport \(|a|\) combinée à une rotation d’angle \(\pi\).

Exemple 3 — Rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\)

On sait que \[ i = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right). \] Donc \[ z' = iz \] est la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).

Si \(z = 2+i\), alors \[ z' = i(2+i)=2i+i^2=-1+2i. \] Donc l’image de \(2+i\) est \(\boxed{-1+2i}\).

Exemple 4 — Homothétie de centre \(O\)

La transformation \[ z' = 3z \] multiplie toutes les distances à l’origine par \(3\), sans changer les directions. C’est une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\boxed{3}\).

Exemple 5 — Rotation + homothétie

Soit \[ a = 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \] Alors \[ z' = az \] est :

une homothétie de rapport \(2\),
suivie d’une rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\).

5) Transformation générale : \(z' = az+b\)

Définition

Si \(a\neq 0\), la transformation \[ z' = az+b \] est une similitude directe.

Elle peut être vue comme :

une transformation \(z\mapsto az\),
puis une translation \(z\mapsto z+b\).

Effets géométriques

Les angles sont conservés.
Les longueurs sont multipliées par \(|a|\).
L’orientation est conservée.
Le centre n’est pas forcément \(O\).

Cas particuliers

Si \(a=1\), on retrouve une translation.
Si \(b=0\), on retrouve \(z'=az\).
Si \(|a|=1\), on a une rotation suivie d’une translation.

Exemple 6 — Identifier la transformation

Considérons \[ z' = (1+i)z + 2. \] Le coefficient multiplicatif est \(a=1+i\). Son module vaut \[ |a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2 \] et son argument vaut \[ \arg(a)=\frac{\pi}{4}. \] Donc la transformation est une similitude directe de rapport \(\boxed{\sqrt2}\) et d’angle \(\boxed{\frac{\pi}{4}}\), puis décalée par la translation d’affixe \(\boxed{2}\).

6) Point fixe d’une transformation \(z' = az+b\)

Définition

Un point fixe est un point dont l’affixe \(z\) vérifie \[ z' = z. \] Pour la transformation \[ z' = az+b, \] on cherche donc les solutions de \[ z = az+b. \]

Calcul

Si \(a\neq 1\), alors \[ z = az+b \Longleftrightarrow (1-a)z=b \Longleftrightarrow z=\frac{b}{1-a}. \]

Exemple 7 — Déterminer le point fixe

Soit \[ z' = iz + 1. \] Un point fixe vérifie \[ z = iz + 1. \] Donc \[ (1-i)z = 1 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{1}{1-i}. \] On rationalise : \[ z = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2}. \] Le point fixe a donc pour affixe \[ \boxed{\frac{1+i}{2}}. \]

7) Méthode pratique pour étudier \(z' = az+b\)

Étape 1

Identifier \(a\) et \(b\). Observer si :

\(b=0\),
\(a=1\),
\(|a|=1\).

Étape 2

Calculer : \[ |a| \quad \text{et} \quad \arg(a). \] Cela donne le rapport et l’angle.

Étape 3

Déterminer, si nécessaire, le point fixe en résolvant \[ z = az+b. \]

Étape 4

Décrire clairement la nature géométrique :

translation,
rotation,
homothétie,
similitude directe.

Pièges fréquents :

confondre \(b\) avec le centre,
oublier que \(|a|\) agit sur les longueurs,
oublier que \(\arg(a)\) agit sur les angles,
dire “rotation” alors que \(|a|\neq 1\).

8) Formulaire express

Écriture complexe	Nature géométrique	Données utiles
\(z' = z+b\)	Translation	Vecteur d’affixe \(b\)
\(z' = az\)	Rotation/homothétie de centre \(O\)	Rapport \(\|a\|\), angle \(\arg(a)\)
\(\|a\|=1\)	Rotation	Angle \(\arg(a)\)
\(a>0\) réel	Homothétie	Rapport \(a\)
\(z' = az+b\), \(a\neq 0\)	Similitude directe	Rapport \(\|a\|\), angle \(\arg(a)\)
Point fixe	\(z'=z\)	\(z=\dfrac{b}{1-a}\) si \(a\neq 1\)