Integration
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Intégration
Définition • aire sous la courbe • propriétés • primitive • valeur moyenne.
Essentiel Méthodes Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel
1 Définition
Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\), alors \[ \int_a^b f(x)\,dx \] est l’intégrale de \(f\) sur \([a ; b]\).
\[ \int_a^a f(x)\,dx=0 \qquad \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx \]
2 Aire
Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a ; b]\), alors \[ \mathcal A=\int_a^b f(x)\,dx. \]
Si \(f\) est négative, l’intégrale est négative, mais l’aire géométrique est positive.
3 Primitive
FonctionUne primitive
\(x^n\)\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) si \(n\neq -1\)
\(ax+b\)\(\dfrac a2x^2+bx\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(\dfrac1x\)\(\ln(x)\) sur \(]0 ; +\infty[\)
4 Théorème clé
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \]
5 Valeur moyenne
\[ m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \]
Interprétation : hauteur du rectangle ayant la même aire algébrique sur \([a ; b]\).
6 Propriétés
\[ \int_a^b (f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g \] \[ \int_a^b kf = k\int_a^b f \] \[ \int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f \]
Méthodes
A Calculer une intégrale
  1. Trouver une primitive \(F\).
  2. Écrire correctement \([F(x)]_a^b\).
  3. Calculer \(F(b)-F(a)\).
  4. Soigner les parenthèses.
\[ \int_0^2 (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2 =4 \]
B Calculer une aire
  1. Étudier le signe de \(f\).
  2. Si \(f\ge 0\), aire = intégrale.
  3. Si \(f\le 0\), aire = opposé de l’intégrale.
  4. Si changement de signe, découper l’intervalle.
Pièges
Piège 1 : confondre aire et intégrale.
Piège 2 : oublier le signe quand la fonction est sous l’axe.
Piège 3 : écrire \(F(a)-F(b)\) au lieu de \(F(b)-F(a)\).
Piège 4 : oublier le facteur \(\dfrac1{b-a}\) pour la valeur moyenne.
Mini-tests corrigés
Q1 Primitive
Une primitive de \(2x+3\) ?
Corrigé : \(x^2+3x\).
Q2 Intégrale
Calculer \(\int_0^1 4x\,dx\).
Corrigé : \([2x^2]_0^1=2\).
Q3 Aire
Si \(f(x)=-2\) sur \([0 ; 3]\), quelle est l’aire géométrique ?
Corrigé : \(6\).
Q4 Valeur moyenne
Si \(\int_0^2 f(x)\,dx=10\), quelle est la valeur moyenne ?
Corrigé : \(10/2=5\).
Checklist
Je sais faire
  • Calculer \(\int_a^b f(x)\,dx\) avec une primitive.
  • Distinguer intégrale et aire géométrique.
  • Utiliser les propriétés de calcul.
  • Calculer une valeur moyenne.
  • Écrire correctement \([a ; b]\).
Réflexes 20/20
1) Toujours chercher une primitive simple.
2) Toujours vérifier le signe de la fonction.
3) Toujours écrire \(F(b)-F(a)\).