Exercices corrigés — Intégration (Tle STI2D)

(a) Une primitive de \(x+1\) est \(F(x)=\frac{x^2}{2}+x\).
\[ \int_0^2 (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2 = \left(2+2\right)-0=4. \]

(b) Une primitive de \(2x\) est \(F(x)=x^2\).
\[ \int_1^3 2x\,dx = [x^2]_1^3 = 9-1=8. \]

(c) \[ \int_0^4 5\,dx = 5(4-0)=20. \]

(d) Une primitive de \(x\) est \(\frac{x^2}{2}\).
\[ \int_{-1}^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1 = \frac12-\frac12=0. \]

Réponses : (a) \(4\), (b) \(8\), (c) \(20\), (d) \(0\).

(a) \[ \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}. \]

(b) Une primitive est \[ F(x)=x^3-x^2+x. \] Donc \[ \int_1^2 (3x^2-2x+1)\,dx = F(2)-F(1)=(8-4+2)-(1-1+1)=6-1=5. \]

(c) Une primitive est \[ F(x)=x^4+\frac{x^2}{2}. \] Donc \[ \int_0^1 (4x^3+x)\,dx = 1+\frac12=\frac32. \]

(d) Une primitive est \[ F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2. \] Alors \[ \int_{-2}^0 (x^2+2x)\,dx = F(0)-F(-2)=0-\left(-\frac83+4\right)= -\frac43. \]

Réponses : (a) \(\frac83\), (b) \(5\), (c) \(\frac32\), (d) \(-\frac43\).

(a) \[ \int_0^2 (3x+4)\,dx = 3\int_0^2 x\,dx +4\int_0^2 1\,dx. \] Or \(\int_0^2 x\,dx=2\) et \(\int_0^2 1\,dx=2\). Donc \[ 3\times2 +4\times2 = 6+8=14. \]

(b) Primitive : \[ F(x)=\frac{2}{3}x^3-5x. \] Donc \[ F(3)-F(1)=\left(18-15\right)-\left(\frac23-5\right)=3+\frac{13}{3}=\frac{22}{3}. \]

(c) Primitive : \[ F(x)=3x^2-\frac{2}{3}x^3. \] Donc \[ \int_0^1 (6x-2x^2)\,dx = 3-\frac23 = \frac73. \]

(d) Primitive : \[ F(x)=\frac{x^3}{3}+3x. \] Donc \[ F(1)-F(-1)=\left(\frac13+3\right)-\left(-\frac13-3\right)=\frac23+6=\frac{20}{3}. \]

Réponses : (a) \(14\), (b) \(\frac{22}{3}\), (c) \(\frac73\), (d) \(\frac{20}{3}\).

(a) \[ \mathcal A=\int_0^3 (x+2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_0^3 = \frac92+6=\frac{21}{2}. \]

(b) \[ \mathcal A=\int_1^2 (2x+1)\,dx = [x^2+x]_1^2 = (4+2)-(1+1)=4. \]

(c) \[ \mathcal A=\int_0^1 (x^2+1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^1 = \frac13+1=\frac43. \]

(d) \[ \mathcal A=\int_2^5 4\,dx = 4(5-2)=12. \]

Réponses : (a) \(\frac{21}{2}\), (b) \(4\), (c) \(\frac43\), (d) \(12\).

(a) \[ \int_0^2 -3\,dx = -3\times2=-6. \] Aire géométrique : \(6\).

(b) \[ \int_0^3 -x\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_0^3 = -\frac92. \] Aire géométrique : \(\frac92\).

(c) Sur \([2 ; 4]\), \(1-x<0\).
\[ \int_2^4 (1-x)\,dx = \left[x-\frac{x^2}{2}\right]_2^4 = (4-8)-(2-2)=-4. \] Aire géométrique : \(4\).

(d) Sur \([0 ; 1]\), \(-2x-1<0\).
\[ \int_0^1 (-2x-1)\,dx = [-x^2-x]_0^1=-2. \] Aire géométrique : \(2\).

Réponses : intégrales : \(-6\), \(-\frac92\), \(-4\), \(-2\). Aires : \(6\), \(\frac92\), \(4\), \(2\).

(a) \(\int_0^2 (x+1)dx=4\), donc \[ m=\frac{4}{2}=2. \]

(b) \(\int_1^3 2x\,dx = [x^2]_1^3=8\), donc \[ m=\frac{8}{3-1}=4. \]

(c) \(\int_0^2 x^2\,dx=\frac83\), donc \[ m=\frac{1}{2}\times\frac83=\frac43. \]

(d) \[ m=\frac{1}{10-4}\int_4^{10} 3\,dx = \frac{1}{6}\times18=3. \]

Réponses : (a) \(2\), (b) \(4\), (c) \(\frac43\), (d) \(3\).

(a) \[ \int_2^5 f(x)dx = \int_0^5 f(x)dx - \int_0^2 f(x)dx = 12-7=5. \]

(b) \[ \int_1^6 f(x)dx = \int_1^4 f(x)dx + \int_4^6 f(x)dx = 9+(-3)=6. \]

(c) \[ \int_3^0 f(x)dx = -\int_0^3 f(x)dx = -4. \]

(d) \[ \int_0^2 f(x)dx = \int_{-1}^2 f(x)dx - \int_{-1}^0 f(x)dx = 5-2=3. \]

Réponses : (a) \(5\), (b) \(6\), (c) \(-4\), (d) \(3\).

(a) \[ \frac{4^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{16}{2}-\frac12=\frac{15}{2}. \]

(b) \[ (2^3-2\cdot2)-(0^3-2\cdot0)=8-4=4. \]

(c) \[ \left(\frac13+1\right)-\left(-\frac13-1\right)=\frac43+\frac43=\frac83. \]

(d) \[ (2\cdot25-5)-(2\cdot4-2)=45-6=39. \]

Réponses : (a) \(\frac{15}{2}\), (b) \(4\), (c) \(\frac83\), (d) \(39\).

(a) \[ \int_0^1 e^x\,dx = [e^x]_0^1 = e-1. \]

(b) \[ \int_1^2 3e^x\,dx = 3[e^x]_1^2 = 3(e^2-e). \]

(c) \[ \int_0^{\ln 2} e^x\,dx = [e^x]_0^{\ln 2}=2-1=1. \]

(d) \[ \int_0^1 (e^x+2)\,dx = [e^x+2x]_0^1=(e+2)-1=e+1. \]

Réponses : (a) \(e-1\), (b) \(3(e^2-e)\), (c) \(1\), (d) \(e+1\).

(a) \[ \int_1^e \frac1x\,dx = [\ln(x)]_1^e = 1-0=1. \]

(b) \[ \int_1^4 \frac{2}{x}\,dx = 2[\ln(x)]_1^4 = 2\ln 4. \]

(c) \[ \int_2^2 \frac1x\,dx = 0. \]

(d) \[ \int_1^3 \left(\frac1x+1\right)dx = [\ln(x)+x]_1^3 = (\ln 3+3)-1=\ln 3+2. \]

Réponses : (a) \(1\), (b) \(2\ln 4\), (c) \(0\), (d) \(\ln 3+2\).

(a) Positive ou nulle.

(b) Négative ou nulle.

(c) \(0\).

(d) \[ \int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx. \]

Réponses : positif, négatif, \(0\), opposées.

(a) Primitive : \[ F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+x. \] Donc \[ \int_0^2 (x^2+2x+1)dx = \frac83+4+2 = \frac{26}{3}. \]

(b) \[ \int_1^e \left(\frac1x+2\right)dx = [\ln(x)+2x]_1^e = (1+2e)-2 = 2e-1. \]

(c) \[ \int_0^3 (x^2+1)dx = \left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3 = 9+3=12. \] Donc la valeur moyenne vaut \[ m=\frac{12}{3}=4. \]

(d) \[ \int_0^2 (-x)dx = -\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = -2. \] L’aire géométrique vaut donc \(2\).

Réponses : (a) \(\frac{26}{3}\), (b) \(2e-1\), (c) \(4\), (d) \(2\).