Integration
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Intégration
Définition de l’intégrale • aire sous la courbe • propriétés • valeur moyenne • lien avec les primitives.
Objectifs Définition Aire Propriétés Lien primitive Valeur moyenne Méthodes Formulaire
1) Objectifs et idées essentielles
Ce qu’il faut savoir faire
  • Interpréter \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) comme une grandeur algébrique associée à la courbe.
  • Relier l’intégrale à une aire lorsque \(f(x)\ge 0\) sur \([a ; b]\).
  • Utiliser les propriétés : linéarité, relation de Chasles, intégrale d’une constante.
  • Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
  • Déterminer une valeur moyenne sur un intervalle.
Pièges fréquents
  • \(\int_a^b f(x)\,dx\) n’est pas toujours une aire positive.
  • Si la courbe passe sous l’axe des abscisses, l’intégrale peut être négative.
  • Ne pas oublier les crochets dans \(F(b)-F(a)\).
  • Distinguer intégrale et aire géométrique.
Idée centrale : l’intégrale mesure une accumulation. En Terminale STI2D, on l’utilise surtout pour des aires, des calculs exacts et la valeur moyenne d’une fonction.
2) Définition de l’intégrale
Notation
Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\), on note : \[ \int_a^b f(x)\,dx \] l’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\).
Sens algébrique
L’intégrale tient compte du signe de \(f\) :
  • au-dessus de l’axe : contribution positive ;
  • au-dessous de l’axe : contribution négative.
Cas particulier
\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0 \qquad\text{et}\qquad \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx. \]
Exemple 1 — Intégrale d’une constante
Si \(f(x)=3\), alors sur \([2 ; 5]\) : \[ \int_2^5 3\,dx = 3(5-2)=9. \]
On retrouve l’aire d’un rectangle : largeur \(=3\), hauteur \(=3\).
3) Intégrale et aire sous la courbe
Cas où \(f(x)\ge 0\)
Si \(f\) est continue et positive sur \([a ; b]\), alors \[ \int_a^b f(x)\,dx \] représente l’aire du domaine situé sous la courbe, au-dessus de l’axe des abscisses, entre \(x=a\) et \(x=b\).
Attention : si la fonction change de signe, l’intégrale donne une aire algébrique, pas directement l’aire géométrique totale.
Exemple 2 — Aire sous une droite
Soit \(f(x)=x+1\) sur \([0 ; 2]\). Comme \(f(x)\ge 0\) sur cet intervalle : \[ \mathcal{A}=\int_0^2 (x+1)\,dx. \] On verra plus loin que cette intégrale vaut \(4\).
Exemple 3 — Fonction négative
Si \(f(x)=-2\) sur \([1 ; 4]\), alors \[ \int_1^4 (-2)\,dx = -6. \] Pourtant l’aire géométrique du rectangle vaut \(6\).
Donc : aire géométrique \(=6\), intégrale \(=-6\).
4) Propriétés de calcul
Formules à connaître
Propriété Écriture
Linéarité \(\displaystyle \int_a^b \big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx\)
Relation de Chasles \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx\)
Constante \(\displaystyle \int_a^b k\,dx=k(b-a)\)
Bornes inversées \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)
Exemple 4 — Utiliser la linéarité
\[ \int_0^2 (3x-4)\,dx = 3\int_0^2 x\,dx - 4\int_0^2 1\,dx. \] Cela permet de séparer le calcul en deux intégrales simples.
Exemple 5 — Relation de Chasles
\[ \int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^5 f(x)\,dx. \] Très utile si on connaît les valeurs sur plusieurs sous-intervalles.
5) Lien entre intégrale et primitive
Théorème fondamental
Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors : \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). \]
Primitives usuelles
\[ \int x^n\,dx \leadsto \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad (n\neq -1) \] \[ \text{Primitive de } ax+b : \frac a2x^2+bx \] \[ \text{Primitive de } \frac{1}{x} : \ln(x)\ \text{sur } ]0 ; +\infty[ \]
Méthode
  • trouver une primitive \(F\) ;
  • calculer \(F(b)\) ;
  • calculer \(F(a)\) ;
  • faire \(F(b)-F(a)\).
Exemple 6 — Calcul direct d’une intégrale
Calculer \[ \int_0^2 (x+1)\,dx. \] Une primitive de \(x+1\) est \[ F(x)=\frac{x^2}{2}+x. \] Donc : \[ \int_0^2 (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2 = \left(\frac{2^2}{2}+2\right)-\left(\frac{0^2}{2}+0\right) = 2+2=4. \]
Résultat : \(\boxed{4}\)
Exemple 7 — Polynôme
\[ \int_1^3 (2x^2-3x+1)\,dx. \] Une primitive est \[ F(x)=\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+x. \] Donc \[ \int_1^3 (2x^2-3x+1)\,dx = F(3)-F(1). \]
6) Valeur moyenne d’une fonction
Définition
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a ; b]\) est : \[ m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Interprétation
C’est la hauteur du rectangle de base \(b-a\) qui aurait la même aire algébrique que celle sous la courbe sur \([a ; b]\).
Exemple 8 — Valeur moyenne de \(f(x)=x+1\) sur \([0 ; 2]\)
On a déjà vu que : \[ \int_0^2 (x+1)\,dx = 4. \] Donc : \[ m=\frac{1}{2-0}\int_0^2 (x+1)\,dx = \frac{4}{2}=2. \]
Valeur moyenne : \(\boxed{2}\)
7) Méthodes à maîtriser
Méthode 1 — Calculer une intégrale
  1. Vérifier que la fonction admet une primitive simple.
  2. Écrire une primitive \(F\).
  3. Calculer \(F(b)-F(a)\).
  4. Soigner les parenthèses.
Méthode 2 — Calculer une aire
  1. Étudier le signe de \(f\) sur l’intervalle.
  2. Si \(f\ge 0\), aire \(=\int_a^b f(x)\,dx\).
  3. Si \(f\le 0\), aire \(=-\int_a^b f(x)\,dx\).
  4. Si \(f\) change de signe, découper l’intervalle.
Très important : avant de dire “c’est une aire”, il faut vérifier le signe de la fonction.
8) Formulaire express
Formules
\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \] \[ \int_a^b k\,dx = k(b-a) \] \[ \int_a^b \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx \] \[ m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \]
Checklist finale
  • Je sais distinguer intégrale et aire géométrique.
  • Je sais utiliser \(F(b)-F(a)\).
  • Je sais calculer une valeur moyenne.
  • Je vérifie toujours le signe de la fonction.
  • Je garde la notation française \([a ; b]\).