Fiche de révision maths Terminale STI2D : Formules trigonométriques via les complexes

TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna

Cette fiche de révision de maths en Terminale STI2D résume le chapitre Formules trigonométriques via les complexes. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.

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Fiche ultra-synthèse — Formules de trigonométrie et complexes
Forme trigonométrique • Euler • Moivre • racines n-ièmes. Objectif : savoir passer rapidement d’une écriture à l’autre et calculer efficacement.
Essentiel Méthodes Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Module
\[ |a+ib|=\sqrt{a^2+b^2} \]
2 Forme trigonométrique
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \] avec \(r=|z|\).
3 Euler
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]
4 Exponentielle
\[ z=re^{i\theta} \]
5 Moivre
\[ (re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta} \]
6 Racines n-ièmes
\[ z_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}} \] pour \(k=0,\dots,n-1\).
Méthodes rapides
A Passer à la forme trigonométrique
  1. Calculer \(|z|\).
  2. Déterminer un argument.
  3. Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
B Calculer une puissance
\[ z=re^{i\theta} \Rightarrow z^n=r^n e^{in\theta} \]
C Calculer une racine
\[ z^n = re^{i\theta} \Rightarrow z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}} \]
D Lecture géométrique
Module = distance Argument = angle
Pièges classiques
1 Argument
Deux arguments diffèrent d’un multiple de \(2\pi\).
2 Moivre
L’angle est multiplié par \(n\), pas seulement le module.
3 Racines
Une racine n-ième donne plusieurs solutions distinctes.
Mini-tests (corrigés rapides)
Q1 Module
Quel est le module de \(1+i\) ?
Corrigé : \(\sqrt2\).
Q2 Argument
Un argument de \(1+i\) ?
Corrigé : \(\frac{\pi}{4}\).
Q3 Euler
Que vaut \(e^{i\theta}\) ?
Corrigé : \(\cos\theta+i\sin\theta\).
Q4 Moivre
Que vaut \((e^{i\theta})^3\) ?
Corrigé : \(e^{i3\theta}\).
Q5 Puissance
Que vaut \((1+i)^4\) ?
Corrigé : \(-4\).
Q6 Racines
Combien de racines quatrièmes de 1 ?
Corrigé : 4.
Checklist avant contrôle
Je sais faire
  • Calculer un module.
  • Déterminer un argument simple.
  • Écrire un complexe en forme trigonométrique.
  • Utiliser Euler et Moivre.
  • Calculer une puissance.
  • Déterminer des racines n-ièmes simples.
Réflexes 20/20
1) Je commence par \(|z|\).
2) Je cherche un argument adapté.
3) J’utilise ensuite Euler ou Moivre.
À bannir : angle oublié, mauvaise lecture du quadrant, ou oubli des différentes racines.
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