Formules Trigonometrie Complexes | Cours — Terminale STI2D Maths | Learna

Cours — Formules de trigonométrie et complexes

Forme trigonométrique d’un nombre complexe • module et argument • formule d’Euler • formule de Moivre • calculs de puissances et racines • interprétation géométrique dans le plan complexe.

Objectifs Rappels Forme trigonométrique Euler Moivre Racines Géométrie Méthode Formulaire

1) Objectifs et plan de travail

Compétences attendues

Écrire un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique.
Calculer son module et déterminer un argument.
Utiliser la formule d’Euler et la formule de Moivre.
Calculer des puissances de nombres complexes.
Déterminer des racines n-ièmes dans des cas simples.
Relier la forme trigonométrique à une lecture géométrique du plan complexe.

Pièges fréquents

Confondre le module \(|z|\) et l’argument \(\arg(z)\).
Oublier que l’argument est défini modulo \(2\pi\).
Mal utiliser Moivre en oubliant de multiplier l’angle par \(n\).
Oublier qu’une racine n-ième donne plusieurs solutions.

Idée centrale : la forme trigonométrique simplifie énormément les produits, quotients, puissances et racines de nombres complexes.

2) Rappels utiles

Écriture algébrique

Tout nombre complexe s’écrit \[ z = a+ib \qquad \text{avec } a,b\in\mathbb{R}. \]

On associe à \(z=a+ib\) le point \(M(a;b)\) dans le plan complexe.

Module

\[ |z| = \sqrt{a^2+b^2} \]

Le module représente la distance du point \(M\) à l’origine \(O\).

Exemple 1 — Calculer le module de \(z=1+i\)

\[ |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \] Donc \[ \boxed{|1+i|=\sqrt2.} \]

Exemple 2 — Argument de \(1+i\)

Le point de coordonnées \((1;1)\) est situé sur la première bissectrice. Un argument de \(1+i\) est donc \[ \boxed{\frac{\pi}{4}}. \]

3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition

Si \(z\neq 0\), on peut écrire \[ z = r(\cos\theta+i\sin\theta) \] où \[ r = |z| \quad \text{et} \quad \theta \text{ est un argument de } z. \]

Lecture

\(r\) est la distance à l’origine.
\(\theta\) est l’angle orienté avec l’axe des abscisses.
Deux arguments diffèrent d’un multiple de \(2\pi\).

Cas particulier

Si \(|z|=1\), alors \[ z=\cos\theta+i\sin\theta. \]

Exemple 3 — Écrire \(1+i\) sous forme trigonométrique

On a déjà : \[ |1+i|=\sqrt2 \quad \text{et} \quad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4}. \] Donc \[ 1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \] Ainsi, \[ \boxed{1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).} \]

Exemple 4 — Écrire \(-i\) sous forme trigonométrique

On a \[ |-i|=1 \] et un argument de \(-i\) est \[ -\frac{\pi}{2}. \] Donc \[ -i=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right). \]

4) Formule d’Euler

Écriture exponentielle

La formule d’Euler s’écrit : \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]

Ainsi, la forme trigonométrique peut aussi s’écrire : \[ z = re^{i\theta}. \]

Intérêt

Le produit devient très simple.
Le quotient devient très simple.
Les puissances se calculent rapidement.

Règles

\[ re^{i\alpha}\times r'e^{i\beta}=rr'e^{i(\alpha+\beta)} \] \[ \frac{re^{i\alpha}}{r'e^{i\beta}}=\frac{r}{r'}e^{i(\alpha-\beta)} \]

Exemple 5 — Produit de deux complexes trigonométriques

Soient \[ z_1=2e^{i\pi/3} \quad \text{et} \quad z_2=3e^{i\pi/6}. \] Alors \[ z_1z_2=6e^{i(\pi/3+\pi/6)}=6e^{i\pi/2}. \] Donc \[ \boxed{z_1z_2=6e^{i\pi/2}.} \]

5) Formule de Moivre

Énoncé

Pour tout entier naturel \(n\), \[ \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta). \]

En écriture exponentielle : \[ \left(re^{i\theta}\right)^n=r^n e^{in\theta}. \]

Exemple 6 — Calculer \((\cos\theta+i\sin\theta)^3\)

En appliquant directement Moivre : \[ (\cos\theta+i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta)+i\sin(3\theta). \]

Exemple 7 — Calculer \((1+i)^4\)

On sait que \[ 1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}. \] Donc \[ (1+i)^4=(\sqrt2)^4 e^{i\pi}=4e^{i\pi}. \] Or \[ e^{i\pi}=-1. \] Donc \[ (1+i)^4 = -4. \] Ainsi, \[ \boxed{(1+i)^4=-4.} \]

6) Racines n-ièmes d’un complexe

Principe

Pour résoudre \[ z^n = re^{i\theta}, \] on cherche les nombres complexes \[ z_k = \sqrt[n]{r}\, e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}} \qquad \text{pour } k=0,1,\dots,n-1. \]

Conséquence

Une équation \(z^n=a\) admet en général \(n\) solutions distinctes dans \(\mathbb{C}\), réparties régulièrement sur un cercle.

Exemple 8 — Racines carrées de 1

Écrire \[ 1=e^{i0}. \] Les solutions de \[ z^2=1 \] sont : \[ z_0=e^{i0}=1 \quad \text{et} \quad z_1=e^{i\pi}=-1. \] Donc \[ \boxed{S=\{-1;1\}.} \]

Exemple 9 — Racines quatrièmes de 1

On résout \[ z^4=1=e^{i0}. \] Les quatre solutions sont \[ e^{i0},\quad e^{i\pi/2},\quad e^{i\pi},\quad e^{i3\pi/2}. \] soit \[ 1,\quad i,\quad -1,\quad -i. \] Ainsi, \[ \boxed{S=\{1;i;-1;-i\}.} \]

7) Lecture géométrique

Module

\(|z|\) est la distance du point \(M\) à l’origine \(O\).

Argument

\(\arg(z)\) est l’angle orienté formé avec l’axe réel positif.

Racines de l’unité

Les racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

Exemple 10 — Racines cubiques de 1

Les solutions de \(z^3=1\) sont \[ 1,\quad e^{i2\pi/3},\quad e^{i4\pi/3}. \] Elles sont réparties régulièrement sur le cercle de centre \(O\) et de rayon 1.

8) Méthode générale

Étape 1

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique : calcul de \(|z|\) puis d’un argument.

Étape 2

Utiliser Euler si l’on veut manipuler plus simplement produits, quotients et puissances.

Étape 3

Pour une puissance, appliquer \[ (re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}. \]

Étape 4

Pour une racine n-ième, penser aux \(n\) valeurs données par \[ \frac{\theta+2k\pi}{n}. \]

À retenir absolument : module \(\rightarrow\) longueur, argument \(\rightarrow\) angle.

9) Formulaire express

Notion	Formule
Module	\(\|a+ib\|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Forme trigonométrique	\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Euler	\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
Forme exponentielle	\(z=re^{i\theta}\)
Produit	\(re^{i\alpha}\times r'e^{i\beta}=rr'e^{i(\alpha+\beta)}\)
Quotient	\(\dfrac{re^{i\alpha}}{r'e^{i\beta}}=\dfrac{r}{r'}e^{i(\alpha-\beta)}\)
Moivre	\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)
Racines n-ièmes	\(z_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\)