Q1. Le module de \(1+i\) vaut : Non vérifié

\(\sqrt2\) \(2\) \(1\) \(\frac{\pi}{4}\)

Indice

Utiliser \(|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Correction

\(|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).

Q2. Un argument de \(1+i\) est : Non vérifié

\(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(0\)

Indice

Le point \((1;1)\) est sur la première bissectrice.

Correction

Un argument de \(1+i\) est \(\frac{\pi}{4}\).

Q3. La forme trigonométrique de \(1+i\) est : Non vérifié

\(\sqrt2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\) \(2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\) \(\sqrt2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})\) \(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\)

Indice

Module = \(\sqrt2\), argument = \(\frac{\pi}{4}\).

Correction

On combine module et argument.

Q4. La formule d’Euler est : Non vérifié

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) \(e^{i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) \(e^{i\theta}=\sin\theta+i\cos\theta\) \(e^{i\theta}=i\theta\)

Indice

C’est la formule fondamentale du chapitre.

Correction

Euler : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).

Q5. Le produit \(2e^{i\pi/3}\times 3e^{i\pi/6}\) vaut : Non vérifié

\(6e^{i\pi/2}\) \(5e^{i\pi/2}\) \(6e^{i\pi/3}\) \(6e^{i\pi}\)

Indice

Multiplier les modules, additionner les angles.

Correction

\(2\times3=6\) et \(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\).

Q6. Le quotient \(\dfrac{6e^{i\pi/2}}{2e^{i\pi/6}}\) vaut : Non vérifié

\(3e^{i\pi/3}\) \(3e^{i2\pi/3}\) \(4e^{i\pi/3}\) \(3e^{i\pi/6}\)

Indice

Diviser les modules, soustraire les angles.

Correction

\(\frac62=3\) et \(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\).

Q7. La formule de Moivre donne : Non vérifié

\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\) \((re^{i\theta})^n=nr e^{i\theta}\) \((re^{i\theta})^n=r^n e^{i\theta}\) \((re^{i\theta})^n=r e^{in\theta}\)

Indice

Le module est élevé à la puissance \(n\), l’angle est multiplié par \(n\).

Correction

C’est exactement la formule de Moivre.

Q8. La valeur de \((1+i)^4\) est : Non vérifié

\(-4\) \(4\) \(-2\) \(2\)

Indice

Passer d’abord en forme trigonométrique.

Correction

\(1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}\), donc \((1+i)^4=4e^{i\pi}=-4\).

Q9. Les racines quatrièmes de 1 sont : Non vérifié

\(1, i, -1, -i\) \(1, -1\) \(i, -i\) \(1, e^{i\pi/4}, -1, e^{-i\pi/4}\)

Indice

Ce sont les points du cercle trigonométrique espacés de \(\frac{\pi}{2}\).

Correction

Les 4 racines quatrièmes de 1 sont \(1,i,-1,-i\).

Q10. Le nombre de racines cubiques de 1 est : Non vérifié

3 2 4 1

Indice

Une équation \(z^n=1\) a \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\).

Correction

Il y a 3 racines cubiques de 1.

Q11. Le module d’un nombre complexe représente : Non vérifié

une distance un angle une aire une pente

Indice

Distance à l’origine.

Correction

Le module est la distance du point à l’origine.

Q12. L’argument d’un nombre complexe représente : Non vérifié

un angle une distance un produit une norme algébrique

Indice

Angle orienté avec l’axe réel positif.

Correction

L’argument est un angle.

Q13. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ? Non vérifié

\(|1+i|=\sqrt2\) \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) \((e^{i\theta})^2=e^{i2\theta}\) \(1+i\) a pour argument \(\pi\)

Indice

Attention à l’argument de \(1+i\).

Correction

Les trois premières sont vraies ; la dernière est fausse car \(\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}\).

Q14. Les racines quatrièmes de 1 sont aussi : Non vérifié

les sommets d’un carré sur le cercle trigonométrique au nombre de 4 toutes égales à 1

Indice

Interprétation géométrique des racines de l’unité.

Correction

Elles forment un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.

Q15. Donner le module de \(1+i\). Non vérifié

Indice

Utiliser \(\sqrt{a^2+b^2}\).

Correction

\(|1+i|=\sqrt2\).

Q16. Donner un argument de \(1+i\). Non vérifié

Indice

Le point est sur la première bissectrice.

Correction

Un argument de \(1+i\) est \(\frac{\pi}{4}\).

Q17. Compléter : \(e^{i\theta}=\) ? Non vérifié

Indice

Formule d’Euler.

Correction

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).

Q18. Calculer \((e^{i\theta})^3\). Non vérifié

Indice

Appliquer Moivre.

Correction

\((e^{i\theta})^3=e^{i3\theta}\).

Q19. Donner les deux racines carrées de \(-1\). Non vérifié

Indice

Résoudre \(z^2=-1\).

Correction

Les deux racines carrées de \(-1\) sont \(i\) et \(-i\).

Q20. Combien y a-t-il de racines quatrièmes de 1 ? Non vérifié

Indice

Une équation \(z^n=1\) a \(n\) solutions.

Correction

Il y a 4 racines quatrièmes de 1.

Quiz — Formules de trigonométrie et complexes