Exercices corrigés de maths Terminale STI2D : Formules trigonométriques via les complexes

TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale STI2D sur Formules trigonométriques via les complexes. Tu vas t’entraîner sur forme algébrique, forme trigonométrique, module et argument, applications géométriques avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.

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✏️ Exercices — Formules trigonométriques via les complexes

Thèmes : formule d’Euler • formules d’addition • duplication • linéarisation • applications aux primitives.
Objectif : maîtriser les calculs exacts, les transformations trigonométriques et les primitives avec une rédaction propre.

Exercice 1 — Restitution des formules fondamentales
Tle STI2D

Compléter les égalités suivantes :

  1. (a) \(\mathrm e^{i\theta}=\dots\)
  2. (b) \(\cos(a+b)=\dots\)
  3. (c) \(\sin(a+b)=\dots\)
  4. (d) \(\sin(2x)=\dots\)
💡 Indice
  • Revoir d’abord Euler.
  • Les formules d’addition permettent d’obtenir les duplications.
✅ Solution détaillée

(a) \(\mathrm e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).

(b) \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).

(c) \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\).

(d) \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).

Exercice 2 — Formules somme — calculs exacts simples
Tle STI2D

Calculer exactement :

  1. (a) \(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\)
  2. (b) \(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\)
  3. (c) \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\)
  4. (d) \(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\)
💡 Indice
  • Tu peux aussi remarquer la valeur finale de l’angle avant d’appliquer la formule.
  • Les angles obtenus sont remarquables.
✅ Solution détaillée

(a) \(\frac\pi3+\frac\pi6=\frac\pi2\), donc \(\cos(\frac\pi2)=0\).

(b) \(\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2\), donc \(\sin(\frac\pi2)=1\).

(c) \(\frac\pi6+\frac\pi3=\frac\pi2\), donc \(\sin(\frac\pi2)=1\).

(d) \(\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2\), donc \(\cos(\frac\pi2)=0\).

Exercice 3 — Formules différence — calculs exacts
Tle STI2D

Calculer exactement :

  1. (a) \(\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\)
  2. (b) \(\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\)
  3. (c) \(\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\)
  4. (d) \(\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)\)
💡 Indice
  • Pour (a), l’angle final est très simple.
  • Pour (b) et (c), utiliser les formules de différence.
✅ Solution détaillée

(a) \(\frac\pi3-\frac\pi6=\frac\pi6\), donc \(\sin(\frac\pi6)=\frac12\).

(b) \[ \cos\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right) =\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4 =\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}. \]

(c) \[ \sin\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right) =\sin\frac\pi4\cos\frac\pi6-\cos\frac\pi4\sin\frac\pi6 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]

(d) \[ \cos\left(\frac\pi6-\frac\pi3\right)=\cos\left(-\frac\pi6\right)=\cos\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Exercice 4 — Retrouver les formules d’addition avec Euler
Tle STI2D

À partir de \(\mathrm e^{i(a+b)}=\mathrm e^{ia}\mathrm e^{ib}\), retrouver :

  1. (a) une expression développée du membre de droite ;
  2. (b) la formule de \(\cos(a+b)\) ;
  3. (c) la formule de \(\sin(a+b)\) ;
  4. (d) expliquer le rôle de la partie réelle et imaginaire.
💡 Indice
  • Écrire \(\mathrm e^{ia}=\cos a+i\sin a\) et idem pour \(b\).
  • Développer comme un produit classique.
✅ Solution détaillée

(a) \[ (\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b) = \cos a\cos b-\sin a\sin b+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b). \]

(b) La partie réelle donne : \[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b. \]

(c) La partie imaginaire donne : \[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b. \]

(d) On identifie les coefficients réels et imaginaires des deux écritures d’un même nombre complexe.

Exercice 5 — Formules de duplication
Tle STI2D

Compléter puis simplifier :

  1. (a) \(\cos(2x)=\dots\)
  2. (b) \(\sin(2x)=\dots\)
  3. (c) \(\cos(2x)\) en fonction de \(\cos x\) seulement
  4. (d) \(\cos(2x)\) en fonction de \(\sin x\) seulement
💡 Indice
  • Prendre \(a=b=x\) dans les formules d’addition.
  • Puis utiliser \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
✅ Solution détaillée

(a) \(\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x\).

(b) \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).

(c) \(\cos(2x)=2\cos^2 x-1\).

(d) \(\cos(2x)=1-2\sin^2 x\).

Exercice 6 — Linéarisation de \(\cos^2 x\) et \(\sin^2 x\)
Tle STI2D

Linéariser :

  1. (a) \(\cos^2 x\)
  2. (b) \(\sin^2 x\)
  3. (c) \(2\cos^2 x+1\)
  4. (d) \(3\sin^2 x-1\)
💡 Indice
  • Partir de \(\cos(2x)=2\cos^2 x-1\) ou \(\cos(2x)=1-2\sin^2 x\).
  • Remplacer ensuite dans les expressions.
✅ Solution détaillée

(a) \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\).

(b) \(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\).

(c) \[ 2\cos^2 x+1=2\cdot\frac{1+\cos(2x)}{2}+1=2+\cos(2x). \]

(d) \[ 3\sin^2 x-1=3\cdot\frac{1-\cos(2x)}{2}-1=\frac{1-3\cos(2x)}{2}. \]

Exercice 7 — Reconnaître une identité
Tle STI2D

Simplifier au maximum :

  1. (a) \(\cos^2 x-\sin^2 x\)
  2. (b) \(2\sin x\cos x\)
  3. (c) \(1-2\sin^2 x\)
  4. (d) \(2\cos^2 x-1\)
💡 Indice
  • Ce sont exactement les formes issues de la duplication.
✅ Solution détaillée

(a) \(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)\).

(b) \(2\sin x\cos x=\sin(2x)\).

(c) \(1-2\sin^2 x=\cos(2x)\).

(d) \(2\cos^2 x-1=\cos(2x)\).

Exercice 8 — Primitive de \(\cos^2 x\)
Tle STI2D

Calculer une primitive de :

  1. (a) \(f(x)=\cos^2 x\)
  2. (b) \(g(x)=2\cos^2 x\)
  3. (c) \(h(x)=\cos^2 x+1\)
  4. (d) \(k(x)=3\cos^2 x\)
💡 Indice
  • Linéariser d’abord \(\cos^2 x\).
  • Puis intégrer terme à terme.
✅ Solution détaillée

(a) \[ \int \cos^2 x\,dx =\int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+C. \]

(b) \[ \int 2\cos^2 x\,dx=x+\frac{\sin(2x)}{2}+C. \]

(c) \[ \int (\cos^2 x+1)dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+x+C =\frac{3x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+C. \]

(d) \[ \int 3\cos^2 x\,dx =\frac{3x}{2}+\frac{3\sin(2x)}{4}+C. \]

Exercice 9 — Primitive de \(\sin^2 x\)
Tle STI2D

Calculer une primitive de :

  1. (a) \(f(x)=\sin^2 x\)
  2. (b) \(g(x)=2\sin^2 x\)
  3. (c) \(h(x)=1-\sin^2 x\)
  4. (d) \(k(x)=4\sin^2 x\)
💡 Indice
  • Linéariser \(\sin^2 x\) avec \(\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\).
✅ Solution détaillée

(a) \[ \int \sin^2 x\,dx =\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}+C. \]

(b) \[ \int 2\sin^2 x\,dx=x-\frac{\sin(2x)}{2}+C. \]

(c) Comme \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), \[ \int (1-\sin^2 x)dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+C. \]

(d) \[ \int 4\sin^2 x\,dx=2x-\sin(2x)+C. \]

Exercice 10 — Primitives avec \(\cos(2x)\)
Tle STI2D

Calculer une primitive de :

  1. (a) \(\cos(2x)\)
  2. (b) \(1+\cos(2x)\)
  3. (c) \(3\cos(2x)\)
  4. (d) \(2-\cos(2x)\)
💡 Indice
  • Bien penser au coefficient 2 dans \(2x\).
✅ Solution détaillée

(a) \(\int \cos(2x)dx=\dfrac{\sin(2x)}{2}+C\).

(b) \(\int (1+\cos(2x))dx=x+\dfrac{\sin(2x)}{2}+C\).

(c) \(\int 3\cos(2x)dx=\dfrac{3\sin(2x)}{2}+C\).

(d) \(\int (2-\cos(2x))dx=2x-\dfrac{\sin(2x)}{2}+C\).

Exercice 11 — Primitives avec \(\sin(2x)\)
Tle STI2D

Calculer une primitive de :

  1. (a) \(\sin(2x)\)
  2. (b) \(2\sin(2x)\)
  3. (c) \(1-\sin(2x)\)
  4. (d) \(3+\sin(2x)\)
💡 Indice
  • La primitive de \(\sin(2x)\) fait intervenir \(-\cos(2x)\).
✅ Solution détaillée

(a) \[ \int \sin(2x)dx=-\frac{\cos(2x)}{2}+C. \]

(b) \[ \int 2\sin(2x)dx=-\cos(2x)+C. \]

(c) \[ \int (1-\sin(2x))dx=x+\frac{\cos(2x)}{2}+C. \]

(d) \[ \int (3+\sin(2x))dx=3x-\frac{\cos(2x)}{2}+C. \]

Exercice 12 — Calcul exact avancé
Tle STI2D

Calculer exactement :

  1. (a) \(\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\)
  2. (b) \(\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\)
  3. (c) \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
  4. (d) \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
💡 Indice
  • Écrire \(\frac{5\pi}{12}=\frac\pi4+\frac\pi6\).
  • Et \(\frac\pi{12}=\frac\pi4-\frac\pi6\).
✅ Solution détaillée

(a) \[ \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right) =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \]

(b) \[ \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\cos\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right) =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]

(c) \[ \sin\left(\frac\pi{12}\right)=\sin\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right) =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]

(d) \[ \cos\left(\frac\pi{12}\right)=\cos\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right) =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \]

Exercice 13 — Vrai ou faux
Tle STI2D

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

  1. (a) \(\cos(a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
  2. (b) \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\)
  3. (c) \(\cos^2 x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\)
  4. (d) \(\int \cos(2x)dx=\dfrac{\sin(2x)}{2}+C\)
💡 Indice
  • Faire très attention aux signes dans les formules.
✅ Solution détaillée

(a) Faux : il faut un signe \(-\).

(b) Vrai.

(c) Faux : la bonne formule est \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\).

(d) Vrai.

Exercice 14 — Transformer une expression trigonométrique
Tle STI2D

Simplifier :

  1. (a) \(\sin^2 x+\cos^2 x+\cos(2x)\)
  2. (b) \(\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x\)
  3. (c) \(2\cos^2 x-1+2\sin x\cos x\)
  4. (d) \(1-2\sin^2 x+2\sin x\cos x\)
💡 Indice
  • Remplacer chaque bloc avec \(\cos(2x)\) ou \(\sin(2x)\).
✅ Solution détaillée

(a) Comme \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), on obtient \(1+\cos(2x)\).

(b) \(\cos(2x)+\sin(2x)\).

(c) \(\cos(2x)+\sin(2x)\).

(d) \(\cos(2x)+\sin(2x)\).

Exercice 15 — Compléter une démonstration
Tle STI2D

On veut montrer que \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\).

  1. (a) Partir de \(\cos(2x)=\dots\)
  2. (b) Remplacer \(\sin^2 x\) par \(1-\cos^2 x\)
  3. (c) Isoler \(\cos^2 x\)
  4. (d) Conclure
💡 Indice
  • La bonne formule de départ est \(\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x\).
✅ Solution détaillée

(a) \(\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x\).

(b) \(\cos(2x)=\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=2\cos^2 x-1\).

(c) \(2\cos^2 x=1+\cos(2x)\).

(d) Donc \[ \cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}. \]

Exercice 16 — Comparer deux écritures d’une même expression
Tle STI2D

Montrer que les expressions suivantes sont égales :

  1. (a) \(\cos^2 x-\sin^2 x\) et \(2\cos^2 x-1\)
  2. (b) \(\cos^2 x-\sin^2 x\) et \(1-2\sin^2 x\)
  3. (c) \(2\sin x\cos x\) et \(\sin(2x)\)
  4. (d) \(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\) et \(\cos^2 x\)
💡 Indice
  • Utiliser \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
✅ Solution détaillée

(a) Comme \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\), \[ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=2\cos^2 x-1. \]

(b) Comme \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\), \[ \cos^2 x-\sin^2 x=(1-\sin^2 x)-\sin^2 x=1-2\sin^2 x. \]

(c) C’est exactement la formule de duplication du sinus.

(d) Cette égalité est la formule de linéarisation de \(\cos^2 x\).

Exercice 17 — Primitive d’une expression mixte
Tle STI2D

Calculer une primitive de :

  1. (a) \(\cos^2 x+\sin^2 x\)
  2. (b) \(\cos^2 x-\sin^2 x\)
  3. (c) \(2\sin x\cos x\)
  4. (d) \(\cos^2 x+\sin(2x)\)
💡 Indice
  • Simplifier avant d’intégrer.
✅ Solution détaillée

(a) \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), donc une primitive est \(x+C\).

(b) \(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)\), donc une primitive est \(\dfrac{\sin(2x)}{2}+C\).

(c) \(2\sin x\cos x=\sin(2x)\), donc une primitive est \(-\dfrac{\cos(2x)}{2}+C\).

(d) \[ \int (\cos^2 x+\sin(2x))dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}-\frac{\cos(2x)}{2}+C. \]

Exercice 18 — Exercice guidé de synthèse
Tle STI2D

On pose \(A=\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x\).

  1. (a) Simplifier \(A\)
  2. (b) En déduire une primitive de \(A\)
  3. (c) Calculer \(A\) pour \(x=\frac\pi4\)
  4. (d) Calculer \(A\) pour \(x=0\)
💡 Indice
  • Reconnaître \(\cos(2x)\) et \(\sin(2x)\).
✅ Solution détaillée

(a) \[ A=\cos(2x)+\sin(2x). \]

(b) \[ \int A\,dx=\int(\cos(2x)+\sin(2x))dx =\frac{\sin(2x)}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}+C. \]

(c) Pour \(x=\frac\pi4\), \(2x=\frac\pi2\), donc \[ A=\cos\left(\frac\pi2\right)+\sin\left(\frac\pi2\right)=0+1=1. \]

(d) Pour \(x=0\), \(2x=0\), donc \[ A=\cos(0)+\sin(0)=1+0=1. \]

Exercice 19 — QCM rédactionnel sans calculatrice
Tle STI2D

Répondre en justifiant brièvement :

  1. (a) \(\cos(2x)\) peut-il s’écrire de trois façons différentes ?
  2. (b) Pourquoi les formules de linéarisation sont-elles utiles en intégration ?
  3. (c) Quelle est la différence principale entre \(\cos(a+b)\) et \(\cos(a-b)\) ?
  4. (d) Pourquoi \(\int \cos(2x)dx\neq \sin(2x)+C\) ?
💡 Indice
  • Il faut parler de dérivée et du coefficient de \(x\).
✅ Solution détaillée

(a) Oui : \[ \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x. \]

(b) Elles transforment \(\cos^2 x\) ou \(\sin^2 x\) en somme simple contenant \(\cos(2x)\), donc l’intégration devient directe.

(c) Le signe devant \(\sin a\sin b\) change : \[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, \] alors que \[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. \]

(d) Parce que \[ (\sin(2x))'=2\cos(2x). \] Il faut donc corriger par un facteur \(\frac12\), d’où \[ \int \cos(2x)dx=\frac{\sin(2x)}{2}+C. \]

Exercice 20 — Problème final — tout le chapitre
Tle STI2D

On considère \(f(x)=\cos^2 x-\sin^2 x+1\).

  1. (a) Simplifier \(f(x)\)
  2. (b) Calculer une primitive de \(f\)
  3. (c) Calculer \(f\left(\frac\pi6\right)\)
  4. (d) Résoudre \(f(x)=1\) à l’aide de la forme simplifiée
💡 Indice
  • Commencer par reconnaître \(\cos(2x)\).
  • Pour (d), résoudre \(\cos(2x)=0\).
✅ Solution détaillée

(a) \[ f(x)=\cos(2x)+1. \]

(b) \[ \int f(x)dx=\int (1+\cos(2x))dx=x+\frac{\sin(2x)}{2}+C. \]

(c) Pour \(x=\frac\pi6\), on a \(2x=\frac\pi3\), donc \[ f\left(\frac\pi6\right)=1+\cos\left(\frac\pi3\right)=1+\frac12=\frac32. \]

(d) \[ f(x)=1 \iff 1+\cos(2x)=1 \iff \cos(2x)=0. \] Donc \[ 2x=\frac\pi2+k\pi \quad (k\in\mathbb Z) \] et ainsi \[ x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2} \quad (k\in\mathbb Z). \]

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