Exercices corrigés — Fonction logarithme népérien (Tle STI2D)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale STI2D sur Fonction logarithme népérien. Tu vas t’entraîner sur propriétés du logarithme, équations, dérivation, applications avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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✏️ Exercices — Fonction logarithme népérien

Thèmes : définition • conditions d’existence • propriétés algébriques • dérivation • variations • limites • équations • inéquations • étude de fonctions.
Objectif : consolider les méthodes indispensables sur la fonction logarithme népérien en Terminale STI2D.

Exercice 1 — Valeurs immédiates et relations fondamentales
Tle STI2D

Calculer :

  1. \(\ln(1)\)
  2. \(\ln(e)\)
  3. \(\ln(e^5)\)
  4. \(e^{\ln(8)}\)
💡 Indice
  • Utiliser les identités fondamentales entre l’exponentielle et le logarithme.
  • On rappelle que \(\ln(1)=0\) et \(\ln(e)=1\).
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(1)=0. \]
(b)
\[ \ln(e)=1. \]
(c)
\[ \ln(e^5)=5. \]
(d)
\[ e^{\ln(8)}=8. \]
Réponses : \(0\), \(1\), \(5\), \(8\).
Exercice 2 — Conditions d’existence
Tle STI2D

Déterminer l’ensemble de définition :

  1. \(f(x)=\ln(x)\)
  2. \(g(x)=\ln(x-2)\)
  3. \(h(x)=\ln(3x+1)\)
  4. \(k(x)=\ln(x^2-4)\)
💡 Indice
  • Le logarithme népérien n’existe que si son argument est strictement positif.
  • Il faut donc résoudre une inéquation dans chaque cas.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ x>0 \quad \Rightarrow \quad D_f=]0 ; +\infty[. \]
(b)
\[ x-2>0 \iff x>2 \quad \Rightarrow \quad D_g=]2 ; +\infty[. \]
(c)
\[ 3x+1>0 \iff x>-\frac13 \quad \Rightarrow \quad D_h=]-\frac13 ; +\infty[. \]
(d)
\[ x^2-4>0 \iff (x-2)(x+2)>0 \iff x<-2 \text{ ou } x>2. \]
\[ D_k=]-\infty ; -2[\cup]2 ; +\infty[. \]
Domaines : \[ ]0 ; +\infty[ \quad ; \quad ]2 ; +\infty[ \quad ; \quad ]-\frac13 ; +\infty[ \quad ; \quad ]-\infty ; -2[\cup]2 ; +\infty[ \]
Exercice 3 — Produit et quotient
Tle STI2D

Simplifier :

  1. \(\ln(3e)\)
  2. \(\ln\!\left(\dfrac{e^2}{5}\right)\)
  3. \(\ln(4)+\ln(7)\)
  4. \(\ln(18)-\ln(3)\)
💡 Indice
  • Utiliser : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).
  • Utiliser : \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\).
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(3e)=\ln(3)+\ln(e)=\ln(3)+1. \]
(b)
\[ \ln\!\left(\frac{e^2}{5}\right)=\ln(e^2)-\ln(5)=2-\ln(5). \]
(c)
\[ \ln(4)+\ln(7)=\ln(28). \]
(d)
\[ \ln(18)-\ln(3)=\ln\!\left(\frac{18}{3}\right)=\ln(6). \]
Réponses : \(\ln(3)+1\), \(2-\ln(5)\), \(\ln(28)\), \(\ln(6)\).
Exercice 4 — Puissances et racines
Tle STI2D

Simplifier :

  1. \(\ln(2^5)\)
  2. \(\ln(\sqrt{7})\)
  3. \(3\ln(4)\)
  4. \(\dfrac12\ln(x)\) avec \(x>0\)
💡 Indice
  • Utiliser : \(\ln(a^n)=n\ln(a)\).
  • Écrire une racine sous forme de puissance.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(2^5)=5\ln(2). \]
(b)
\[ \ln(\sqrt7)=\ln(7^{1/2})=\frac12\ln(7). \]
(c)
\[ 3\ln(4)=\ln(4^3)=\ln(64). \]
(d)
\[ \frac12\ln(x)=\ln\!\left(x^{1/2}\right)=\ln(\sqrt{x}). \]
Réponses : \(5\ln(2)\), \(\dfrac12\ln(7)\), \(\ln(64)\), \(\ln(\sqrt{x})\).
Exercice 5 — Dérivées de base
Tle STI2D

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x)=\ln(x)\)
  2. \(g(x)=5\ln(x)\)
  3. \(h(x)=\ln(x)-3x\)
  4. \(k(x)=2+\ln(x)\)
💡 Indice
  • Sur \(]0 ; +\infty[\), on a : \((\ln x)'=\dfrac1x\).
  • La dérivée d’une constante est nulle.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ f'(x)=\frac1x. \]
(b)
\[ g'(x)=\frac5x. \]
(c)
\[ h'(x)=\frac1x-3. \]
(d)
\[ k'(x)=\frac1x. \]
Réponses : \(\dfrac1x\), \(\dfrac5x\), \(\dfrac1x-3\), \(\dfrac1x\).
Exercice 6 — Dérivées composées
Tle STI2D

Dériver :

  1. \(f(x)=\ln(4x+1)\)
  2. \(g(x)=\ln(x^2+2)\)
  3. \(h(x)=\ln(7-x)\)
  4. \(k(x)=\ln((x+3)^2)\)
💡 Indice
  • Utiliser la formule : \((\ln(u(x)))'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
✅ Solution détaillée
(a)
\[ f'(x)=\frac{4}{4x+1}. \]
(b)
\[ g'(x)=\frac{2x}{x^2+2}. \]
(c)
\[ h'(x)=\frac{-1}{7-x}. \]
(d)
\[ k'(x)=\frac{2(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{2}{x+3} \] pour \(x\neq -3\).
Réponses : \(\dfrac{4}{4x+1}\), \(\dfrac{2x}{x^2+2}\), \(\dfrac{-1}{7-x}\), \(\dfrac{2}{x+3}\).
Exercice 7 — Produit et quotient avec logarithme
Tle STI2D

Dériver :

  1. \(f(x)=x\ln(x)\)
  2. \(g(x)=x^2\ln(x)\)
  3. \(h(x)=(x-1)\ln(x)\)
  4. \(k(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\)
💡 Indice
  • Utiliser la dérivation d’un produit ou d’un quotient.
  • Pour \(x\ln(x)\), penser à la formule du produit.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac1x=\ln(x)+1. \]
(b)
\[ g'(x)=2x\ln(x)+x^2\cdot\frac1x=2x\ln(x)+x. \]
(c)
\[ h'(x)=\ln(x)+\frac{x-1}{x}=\ln(x)+1-\frac1x. \]
(d)
\[ k'(x)=\frac{(1/x)\cdot x-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}. \]
Réponses : \(\ln(x)+1\), \(2x\ln(x)+x\), \(\ln(x)+1-\dfrac1x\), \(\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\).
Exercice 8 — Limites fondamentales
Tle STI2D

Déterminer les limites :

  1. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)\)
  2. \(\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)\)
  3. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(5x)\)
  4. \(\lim\limits_{x\to +\infty}(\ln(x)+4)\)
💡 Indice
  • Connaître les deux limites de référence de la fonction logarithme.
  • Ajouter une constante ne change pas la nature de la limite à l’infini.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty. \]
(b)
\[ \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty. \]
(c)
\[ 5x\to 0^+ \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to 0^+}\ln(5x)=-\infty. \]
(d)
\[ \lim_{x\to +\infty}(\ln(x)+4)=+\infty. \]
Réponses : \(-\infty\), \(+\infty\), \(-\infty\), \(+\infty\).
Exercice 9 — Variations simples
Tle STI2D

Étudier le sens de variation :

  1. \(f(x)=\ln(x)\)
  2. \(g(x)=\ln(x)+5\)
  3. \(h(x)=4\ln(x)\)
  4. \(k(x)=-2\ln(x)\)
💡 Indice
  • Étudier le signe de la dérivée sur \(]0 ; +\infty[\).
  • Multiplier par une constante positive conserve le sens de variation ; une constante négative l’inverse.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ f'(x)=\frac1x>0 \text{ sur } ]0 ; +\infty[. \]
Donc \(f\) est strictement croissante.
(b)
\[ g'(x)=\frac1x>0. \]
Donc \(g\) est strictement croissante.
(c)
\[ h'(x)=\frac4x>0. \]
Donc \(h\) est strictement croissante.
(d)
\[ k'(x)=-\frac2x<0. \]
Donc \(k\) est strictement décroissante.
\(f\), \(g\), \(h\) sont croissantes sur \(]0 ; +\infty[\), tandis que \(k\) est décroissante.
Exercice 10 — Équations logarithmiques directes
Tle STI2D

Résoudre :

  1. \(\ln(x)=0\)
  2. \(\ln(x)=3\)
  3. \(\ln(x-4)=2\)
  4. \(\ln(2x+1)=\ln(9)\)
💡 Indice
  • Pour une équation du type \(\ln(u)=a\), on écrit \(u=e^a\).
  • Penser à vérifier la condition d’existence.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(x)=0 \iff x=e^0=1. \]
(b)
\[ \ln(x)=3 \iff x=e^3. \]
(c) Condition : \(x>4\). Puis
\[ \ln(x-4)=2 \iff x-4=e^2 \iff x=4+e^2. \]
(d) Condition : \(2x+1>0\). Puis
\[ \ln(2x+1)=\ln(9) \iff 2x+1=9 \iff x=4. \]
Solutions : \(1\), \(e^3\), \(4+e^2\), \(4\).
Exercice 11 — Inéquations logarithmiques
Tle STI2D

Résoudre :

  1. \(\ln(x)>0\)
  2. \(\ln(x)<2\)
  3. \(\ln(x+3)\ge \ln(6)\)
  4. \(\ln(3x-2)<\ln(7)\)
💡 Indice
  • La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
  • On compare les arguments quand les logarithmes existent.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(x)>0=\ln(1) \iff x>1. \]
(b)
\[ \ln(x)<2=\ln(e^2) \iff x avec \(x>0\), donc
\[ x\in ]0 ; e^2[. \]
(c) Condition : \(x+3>0\). Puis
\[ \ln(x+3)\ge \ln(6) \iff x+3\ge 6 \iff x\ge 3. \]
(d) Condition : \(3x-2>0 \iff x>\frac23\). Puis
\[ \ln(3x-2)<\ln(7) \iff 3x-2<7 \iff x<3. \]
Donc
\[ x\in ]\frac23 ; 3[. \]
Solutions : \(]1 ; +\infty[\), \(]0 ; e^2[\), \([3 ; +\infty[\), \(]\frac23 ; 3[\).
Exercice 12 — Domaine, dérivée, équation, inéquation
Tle STI2D

Répondre complètement :

  1. Déterminer le domaine de \(f(x)=\ln(x^2-1)\)
  2. Dériver \(g(x)=\ln(x^2+4x+5)\)
  3. Résoudre \(\ln(x-1)=\ln(2x-2)\)
  4. Résoudre \(\ln(x+2)>0\)
💡 Indice
  • Pour le domaine, imposer \(x^2-1>0\).
  • Pour l’équation, comparer les arguments après avoir posé les conditions d’existence.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ x^2-1>0 \iff (x-1)(x+1)>0. \]
Donc
\[ x<-1 \text{ ou } x>1. \]
Ainsi
\[ D_f=]-\infty ; -1[\cup]1 ; +\infty[. \]
(b)
\[ g'(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x+5}. \]
(c) Conditions : \(x-1>0\) et \(2x-2>0\), soit \(x>1\).
\[ \ln(x-1)=\ln(2x-2) \iff x-1=2x-2 \iff x=1. \]
Or \(x=1\) n’appartient pas au domaine.
Aucune solution.
(d) Condition : \(x+2>0\iff x>-2\).
\[ \ln(x+2)>0=\ln(1) \iff x+2>1 \iff x>-1. \]
Donc la solution est
\[ ]-1 ; +\infty[. \]
Résultats : \(D_f=]-\infty ; -1[\cup]1 ; +\infty[\), \(g'(x)=\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\), aucune solution, et \(]-1 ; +\infty[\).
Exercice 13 — Résolution avec propriétés algébriques
Tle STI2D

Simplifier ou résoudre :

  1. \(\ln(2)+\ln(x)\)
  2. \(\ln(5x)-\ln(x)\) avec \(x>0\)
  3. Résoudre \(\ln(x)+\ln(2)=\ln(14)\)
  4. Résoudre \(\ln(3x)-\ln(2)=0\)
💡 Indice
  • Transformer les sommes et différences de logarithmes en logarithme d’un produit ou d’un quotient.
  • Dans une équation, commencer par simplifier.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(2)+\ln(x)=\ln(2x) \] pour \(x>0\).
(b)
\[ \ln(5x)-\ln(x)=\ln\!\left(\frac{5x}{x}\right)=\ln(5). \]
(c) Condition : \(x>0\).
\[ \ln(x)+\ln(2)=\ln(14) \iff \ln(2x)=\ln(14) \iff 2x=14 \iff x=7. \]
(d) Condition : \(x>0\).
\[ \ln(3x)-\ln(2)=0 \iff \ln\!\left(\frac{3x}{2}\right)=\ln(1). \]
Donc
\[ \frac{3x}{2}=1 \iff x=\frac23. \]
Réponses : \(\ln(2x)\), \(\ln(5)\), \(x=7\), \(x=\dfrac23\).
Exercice 14 — Étude du signe d’une dérivée
Tle STI2D

Étudier le sens de variation des fonctions suivantes :

  1. \(f(x)=\ln(x)-x\)
  2. \(g(x)=2\ln(x)-1\)
  3. \(h(x)=x-\ln(x)\)
  4. \(k(x)=\ln(x)+\dfrac1x\)
💡 Indice
  • Calculer la dérivée puis étudier son signe sur \(]0 ; +\infty[\).
  • Pour \(\ln(x)-x\), on obtient souvent \(\dfrac{1-x}{x}\).
✅ Solution détaillée
(a)
\[ f'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}. \]
Sur \(]0 ; +\infty[\), le signe dépend de \(1-x\).
Donc \(f\) est croissante sur \(]0 ; 1[\), puis décroissante sur \(]1 ; +\infty[\).
(b)
\[ g'(x)=\frac2x>0. \]
Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
(c)
\[ h'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}. \]
Donc \(h\) est décroissante sur \(]0 ; 1[\), puis croissante sur \(]1 ; +\infty[\).
(d)
\[ k'(x)=\frac1x-\frac1{x^2}=\frac{x-1}{x^2}. \]
Comme \(x^2>0\), le signe est celui de \(x-1\).
Donc \(k\) est décroissante sur \(]0 ; 1[\), puis croissante sur \(]1 ; +\infty[\).
Variations :
• \(f\) : croissante puis décroissante
• \(g\) : croissante
• \(h\) : décroissante puis croissante
• \(k\) : décroissante puis croissante
Exercice 15 — Limites avec formes composées
Tle STI2D

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x\to 0^+}(2\ln(x))\)
  2. \(\lim\limits_{x\to +\infty}(\ln(x)-10)\)
  3. \(\lim\limits_{x\to 0^+}(x\ln(x))\)
  4. \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}\)
💡 Indice
  • Les deux dernières limites sont classiques.
  • On sait que \(x\ln(x)\to 0\) quand \(x\to 0^+\).
  • On sait aussi que \(\dfrac{\ln(x)}{x}\to 0\) quand \(x\to +\infty\).
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(x)\to -\infty \quad \Rightarrow \quad 2\ln(x)\to -\infty. \]
(b)
\[ \ln(x)-10\to +\infty. \]
(c)
\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0. \]
(d)
\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0. \]
Réponses : \(-\infty\), \(+\infty\), \(0\), \(0\).
Exercice 16 — Équations avec simplification préalable
Tle STI2D

Résoudre :

  1. \(\ln(x^2)=4\) avec \(x\neq 0\)
  2. \(2\ln(x)=\ln(9)\)
  3. \(\ln(x)+\ln(x)=\ln(16)\)
  4. \(\ln(x-1)+\ln(2)=\ln(6)\)
💡 Indice
  • Utiliser : \(2\ln(x)=\ln(x^2)\) si \(x>0\).
  • Penser à vérifier les conditions d’existence avant de conclure.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ \ln(x^2)=4 \iff x^2=e^4 \iff x=\pm e^2. \]
Les deux valeurs conviennent car \(x\neq 0\).
(b) Condition : \(x>0\).
\[ 2\ln(x)=\ln(9) \iff \ln(x^2)=\ln(9) \iff x^2=9. \]
Comme \(x>0\), on obtient
\[ x=3. \]
(c) Condition : \(x>0\).
\[ \ln(x)+\ln(x)=\ln(16) \iff \ln(x^2)=\ln(16) \iff x^2=16. \]
Comme \(x>0\), on obtient
\[ x=4. \]
(d) Condition : \(x>1\).
\[ \ln(x-1)+\ln(2)=\ln(6) \iff \ln(2(x-1))=\ln(6) \iff 2(x-1)=6. \]
Donc
\[ x-1=3 \iff x=4. \]
Solutions : \(x=\pm e^2\), \(x=3\), \(x=4\), \(x=4\).
Exercice 17 — Inéquations avec simplification
Tle STI2D

Résoudre :

  1. \(2\ln(x)>\ln(5)\)
  2. \(\ln(x)-\ln(2)\le 0\)
  3. \(\ln(x+1)+\ln(2)>\ln(10)\)
  4. \(\ln(4x)-\ln(x)<\ln(5)\) avec \(x>0\)
💡 Indice
  • Transformer si possible en une seule expression logarithmique.
  • La croissance de \(\ln\) permet ensuite de comparer les arguments.
✅ Solution détaillée
(a) Condition : \(x>0\).
\[ 2\ln(x)>\ln(5) \iff \ln(x^2)>\ln(5) \iff x^2>5. \]
Comme \(x>0\), on obtient
\[ x>\sqrt5. \]
(b) Condition : \(x>0\).
\[ \ln(x)-\ln(2)\le 0 \iff \ln\!\left(\frac{x}{2}\right)\le \ln(1) \iff \frac{x}{2}\le 1. \]
Donc
\[ 0
(c) Condition : \(x>-1\).
\[ \ln(x+1)+\ln(2)>\ln(10) \iff \ln(2(x+1))>\ln(10) \iff 2(x+1)>10. \]
Donc
\[ x>4. \]
(d) Pour \(x>0\),
\[ \ln(4x)-\ln(x)=\ln(4). \]
L’inéquation devient
\[ \ln(4)<\ln(5), \]
ce qui est toujours vrai.
Donc tout \(x>0\) convient.
Solutions : \(]\sqrt5 ; +\infty[\), \(]0 ; 2]\), \(]4 ; +\infty[\), \(]0 ; +\infty[\).
Exercice 18 — Étude d’une fonction logarithmique simple
Tle STI2D

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\ln(x)-1\).

  1. Déterminer son domaine.
  2. Calculer sa dérivée.
  3. Étudier son sens de variation.
  4. Résoudre \(f(x)=0\).
💡 Indice
  • Commencer par le domaine : l’argument du logarithme doit être positif.
  • La constante \(-1\) n’influence pas la dérivée.
✅ Solution détaillée
(a)
\[ x>0 \quad \Rightarrow \quad D_f=]0 ; +\infty[. \]
(b)
\[ f'(x)=\frac1x. \]
(c) Comme \(\dfrac1x>0\) sur \(]0 ; +\infty[\), la fonction \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
(d)
\[ f(x)=0 \iff \ln(x)-1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=e. \]
Domaine : \(]0 ; +\infty[\), dérivée : \(\dfrac1x\), fonction croissante, solution de \(f(x)=0\) : \(x=e\).
Exercice 19 — Étude d’une fonction composée
Tle STI2D

On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\ln(2x+3)\).

  1. Déterminer son domaine.
  2. Calculer sa dérivée.
  3. Étudier son sens de variation.
  4. Résoudre \(g(x)=0\).
💡 Indice
  • Le domaine se trouve en imposant \(2x+3>0\).
  • Pour résoudre \(g(x)=0\), on utilise \(\ln(1)=0\).
✅ Solution détaillée
(a)
\[ 2x+3>0 \iff x>-\frac32. \]
Donc
\[ D_g=]-\frac32 ; +\infty[. \]
(b)
\[ g'(x)=\frac{2}{2x+3}. \]
(c) Sur le domaine, \(2x+3>0\), donc \(g'(x)>0\).
Ainsi \(g\) est strictement croissante sur \(]-\dfrac32 ; +\infty[\).
(d)
\[ g(x)=0 \iff \ln(2x+3)=0 \iff 2x+3=1 \iff 2x=-2 \iff x=-1. \]
Cette valeur appartient bien au domaine.
Domaine : \(]-\dfrac32 ; +\infty[\), dérivée : \(\dfrac{2}{2x+3}\), fonction croissante, solution : \(x=-1\).
Exercice 20 — Bilan final complet
Tle STI2D

Répondre complètement :

  1. Déterminer le domaine de \(f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\)
  2. Dériver \(g(x)=\ln(x)-x\)
  3. Résoudre \(\ln(x+2)=1\)
  4. Résoudre \(\ln(2x-1)\ge 0\)
💡 Indice
  • Pour le domaine, il faut imposer \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\).
  • Pour l’inéquation, comparer avec \(\ln(1)=0\).
✅ Solution détaillée
(a) Il faut
\[ \frac{x-1}{x+2}>0. \]
Le quotient est positif si le numérateur et le dénominateur sont de même signe.
On obtient
\[ x<-2 \quad \text{ou} \quad x>1. \]
Donc
\[ D_f=]-\infty ; -2[\cup]1 ; +\infty[. \]
(b)
\[ g'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}. \]
(c) Condition : \(x+2>0\).
\[ \ln(x+2)=1 \iff x+2=e \iff x=e-2. \]
(d) Condition : \(2x-1>0 \iff x>\frac12\).
\[ \ln(2x-1)\ge 0=\ln(1) \iff 2x-1\ge 1 \iff 2x\ge 2 \iff x\ge 1. \]
En tenant compte du domaine, on garde
\[ [1 ; +\infty[. \]
Résultats : \[ D_f=]-\infty ; -2[\cup]1 ; +\infty[, \qquad g'(x)=\frac{1-x}{x}, \qquad x=e-2, \qquad [1 ; +\infty[ \]
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