Fonction Logarithme Neperien
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Fonction logarithme népérien
Définition • domaine • propriétés algébriques • dérivation • limites • équations et inéquations.
Essentiel Méthodes Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel
1 Définition
\[ \ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln(x)}=x \ (x>0) \]
\[ \ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1 \]
2 Domaine
\[ \ln(x) \text{ existe seulement si } x>0. \]
3 Propriétés
FormuleCondition
\(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\)\(a>0,\ b>0\)
\(\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)\)\(a>0,\ b>0\)
\(\ln(a^n)=n\ln(a)\)\(a>0\)
4 Dérivation
\[ (\ln(x))'=\frac1x \] \[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)} \]
5 Limites
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \] \[ \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty \]
6 Variations
Comme \[ \frac1x>0 \quad \text{sur } ]0 ; +\infty[, \] la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
Méthodes
A Domaine
  1. Repérer ce qu’il y a dans le logarithme.
  2. Imposer que ce soit strictement positif.
  3. Résoudre cette inéquation.
B Équations / inéquations
  1. Vérifier d’abord les conditions d’existence.
  2. Utiliser la croissance de \(\ln\).
  3. Ou transformer avec l’exponentielle si nécessaire.
Pièges
Piège 1 : oublier la condition \(x>0\).
Piège 2 : croire que \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\).
Piège 3 : oublier que \(\ln\) est croissante.
Piège 4 : ne pas vérifier les solutions finales.
Mini-tests corrigés
Q1 Valeur
\(\ln(e^3)=\ ?\)
Corrigé : \(3\)
Q2 Domaine
Pour \(\ln(x-4)\), quelle condition ?
Corrigé : \(x>4\)
Q3 Dérivée
Dériver \(\ln(x)\)
Corrigé : \(1/x\)
Q4 Inéquation
Résoudre \(\ln(x)>0\)
Corrigé : \(x>1\)
Checklist
Je sais faire
  • Déterminer le domaine d’une fonction avec \(\ln\).
  • Utiliser les propriétés du logarithme.
  • Dériver \(\ln(x)\) et \(\ln(u(x))\).
  • Résoudre des équations et inéquations en \(\ln\).
  • Étudier limites et variations.
Réflexes 20/20
1) Je commence par la condition d’existence.
2) Je pense à la croissance de \(\ln\).
3) Je vérifie toujours mes solutions.