Fonction Logarithme Neperien
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Cours — Fonction logarithme népérien
Définition de \(\ln\) • propriétés algébriques • variations • limites • équations et inéquations.
Objectifs Définition Conditions Propriétés Dérivation Limites Variations Équations / inéquations Méthodes Formulaire
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
  • Connaître la définition de la fonction logarithme népérien \(\ln\).
  • Maîtriser son domaine de définition : uniquement sur \(]0 ; +\infty[\).
  • Utiliser les propriétés algébriques : \(\ln(ab)\), \(\ln(a/b)\), \(\ln(a^n)\).
  • Dériver des fonctions contenant \(\ln(x)\) et \(\ln(u(x))\).
  • Étudier les limites et les variations de \(\ln\).
  • Résoudre des équations et inéquations logarithmiques simples.
Pièges fréquents
  • \(\ln(x)\) n’existe que si \(x>0\).
  • \(\ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b)\).
  • Il faut toujours vérifier la condition d’existence avant de calculer.
  • \(\ln(1)=0\) et \(\ln(e)=1\) sont à connaître absolument.
Idée clé : la fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle sur \(]0 ; +\infty[\).
2) Définition de la fonction logarithme népérien
Définition
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est définie sur \(]0 ; +\infty[\). C’est la fonction réciproque de l’exponentielle.
Relations fondamentales
\[ \ln(e^x)=x \qquad \text{pour tout } x\in\mathbb{R} \] \[ e^{\ln(x)}=x \qquad \text{pour tout } x>0 \]
Valeurs à connaître
\[ \ln(1)=0 \qquad \ln(e)=1 \]
Exemple 1 — Calculs immédiats
\[ \ln(e^3)=3, \qquad e^{\ln(7)}=7, \qquad \ln(1)=0. \]
3) Condition d’existence
Règle fondamentale
Pour que \(\ln(u(x))\) existe, il faut obligatoirement : \[ u(x)>0. \]
Exemples où c’est défini
  • \(\ln(3)\)
  • \(\ln(x)\) si \(x>0\)
  • \(\ln(x-2)\) si \(x>2\)
Exemples interdits
  • \(\ln(0)\) impossible
  • \(\ln(-5)\) impossible
  • \(\ln(x^2-4)\) nécessite \(x^2-4>0\)
Exemple 2 — Domaine de définition
Pour \(f(x)=\ln(x+3)\), il faut : \[ x+3>0 \iff x>-3. \] Donc le domaine est : \[ ]-3 ; +\infty[. \]
4) Propriétés algébriques du logarithme
Formules à connaître
Propriété Formule
Produit \[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \quad (a>0,\ b>0) \]
Quotient \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \quad (a>0,\ b>0) \]
Puissance \[ \ln(a^n)=n\ln(a) \quad (a>0) \]
Attention : \[ \ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b). \]
Exemple 3 — Simplifications
\[ \ln(3e)=\ln(3)+\ln(e)=\ln(3)+1 \] \[ \ln\left(\frac{e^2}{5}\right)=\ln(e^2)-\ln(5)=2-\ln(5) \] \[ \ln(4^3)=3\ln(4) \]
5) Dérivation
Dérivée de base
Sur \(]0 ; +\infty[\), \[ (\ln(x))'=\frac{1}{x}. \]
Cas composé
Si \(u(x)>0\) et \(u\) dérivable, alors : \[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}. \]
Exemple 4 — Dériver \(\ln(2x+1)\)
On pose \(u(x)=2x+1\), donc \(u'(x)=2\). Alors : \[ (\ln(2x+1))'=\frac{2}{2x+1} \] avec la condition : \[ 2x+1>0 \iff x>-\frac12. \]
Exemple 5 — Dériver \(x\ln(x)\)
On utilise la dérivation d’un produit : \[ (x\ln(x))'=1\cdot \ln(x)+x\cdot \frac1x=\ln(x)+1. \]
6) Limites
À connaître absolument
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \] \[ \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty \]
Conséquence
La courbe de \(\ln(x)\) admet l’axe des ordonnées \(x=0\) comme asymptote verticale.
Exemple 6 — Limite simple
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(3x)= -\infty \] car \(3x\to 0^+\).
7) Variations de la fonction logarithme
Sens de variation
Sur \(]0 ; +\infty[\), \[ (\ln(x))'=\frac1x>0. \] Donc la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
Tableau de variations
\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & & +\infty\\ \hline \ln(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} \]
Exemple 7 — Comparaison
Comme la fonction \(\ln\) est croissante : \[ 2<5 \implies \ln(2)<\ln(5). \]
8) Équations et inéquations logarithmiques
Équation de base
Si \(a>0\) et \(b>0\), alors : \[ \ln(a)=\ln(b) \iff a=b. \]
Inéquations
Comme \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), \[ \ln(a)<\ln(b) \iff a0\) et \(b>0\).
Très important : il faut d’abord vérifier que les expressions à l’intérieur du logarithme sont positives.
Exemple 8 — Résoudre \(\ln(x)=2\)
\[ \ln(x)=2 \iff x=e^2. \]
Exemple 9 — Résoudre \(\ln(x-1)>0\)
Condition d’existence : \[ x-1>0 \iff x>1. \] Puis \[ \ln(x-1)>0=\ln(1) \iff x-1>1 \iff x>2. \] Solution : \[ ]2 ; +\infty[. \]
9) Méthodes à maîtriser
Méthode 1 — Étudier un domaine
  1. Repérer l’expression à l’intérieur du logarithme.
  2. Imposer qu’elle soit strictement positive.
  3. Résoudre l’inéquation obtenue.
Méthode 2 — Résoudre une équation en \(\ln\)
  1. Vérifier les conditions d’existence.
  2. Utiliser \(\ln(a)=\ln(b)\iff a=b\).
  3. Ou passer à la forme exponentielle si besoin.
  4. Vérifier la solution finale.
Réflexe 20/20 : avec un logarithme, je commence toujours par écrire la condition d’existence.
10) Formulaire express
À retenir
\[ \ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1 \] \[ \ln(e^x)=x \] \[ e^{\ln(x)}=x \quad (x>0) \] \[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \] \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] \[ \ln(a^n)=n\ln(a) \]
Dérivée, limites, variations
\[ (\ln(x))'=\frac1x \quad (x>0) \] \[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)} \] \[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \] \[ \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty \] \[ \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0 ; +\infty[ \]