Exercices corrigés — Équations différentielles (Tle STI2D)

On a :

Donc

Et

Ainsi \(f'(x)=3f(x)\), donc \(f\) est bien solution de l’équation différentielle \(y'=3y\).

Les solutions de \(y'=ay\) sont de la forme :

Ici \(a=5\), donc :

où \(C\) est une constante réelle.

On reconnaît l’équation \(y'=ay\) avec \(a=-2\).

Donc les solutions sont :

où \(C\in\mathbb{R}\).

La solution générale de \(y'=4y\) est :

Comme \(y(0)=3\), on obtient :

Donc la solution particulière est :

La solution générale est :

La condition \(y(1)=e^2\) donne :

Donc :

La solution cherchée est donc :

On reconnaît l’équation :

avec \(a=3\) et \(b=6\).

La solution générale est donc :

Donc :

On a \(a=-4\) et \(b=8\).

Donc :

La solution générale est :

Ici \(a=2\) et \(b=4\), donc

La condition initiale donne :

Donc :

La solution cherchée est :

On a \(a=-3\) et \(b=9\), donc :

Avec \(y(0)=4\), on obtient :

Donc :

On a :

Or \(y(0)=7\), donc :

On dérive :

Calculons ensuite :

Ainsi :

Donc \(f\) est bien solution de l’équation différentielle.

On a :

Or

Donc :

Une équation différentielle convenable est donc :

La solution générale est :

Avec \(y(0)=10\), on obtient :

Donc :

La solution générale est :

Avec \(y(0)=50\), on trouve :

Ainsi :

Pour \(x=0\) :

Pour \(x=1\) :

Donc :

On a :

Or \(y(2)=4+e^{-6}\). Donc :

Par simplification :

Donc :

On a \(a=6\) et \(b=-12\). La solution générale est :

Avec \(y(0)=0\), on obtient :

La solution cherchée est donc :

On a \(a=-5\) et \(b=15\), donc :

La bonne réponse est donc :

L’équation est de la forme :

avec \(a=-0{,}8<0\).

La solution générale est :

Comme l’exponentielle comporte un coefficient négatif dans l’exposant, on obtient une décroissance exponentielle.

La solution générale de \(y'=y-3\) est :

Avec \(y(0)=5\), on obtient :

Donc la solution cherchée est :