On a :

\[ f(x)=2e^{3x} \]

Donc

\[ f'(x)=2\times 3e^{3x}=6e^{3x}. \]

Et

\[ 3f(x)=3\times 2e^{3x}=6e^{3x}. \]

Ainsi \(f'(x)=3f(x)\), donc \(f\) est bien solution de l’équation différentielle \(y'=3y\).

Les solutions de \(y'=ay\) sont de la forme :

\[ y(x)=Ce^{ax}. \]

Ici \(a=5\), donc :

\[ \boxed{y(x)=Ce^{5x}} \]

où \(C\) est une constante réelle.

On reconnaît l’équation \(y'=ay\) avec \(a=-2\).

Donc les solutions sont :

\[ \boxed{y(x)=Ce^{-2x}} \]

où \(C\in\mathbb{R}\).

La solution générale de \(y'=4y\) est :

\[ y(x)=Ce^{4x}. \]

Comme \(y(0)=3\), on obtient :

\[ C e^0 = C = 3. \]

Donc la solution particulière est :

\[ \boxed{y(x)=3e^{4x}} \]

La solution générale est :

\[ y(x)=Ce^{2x}. \]

La condition \(y(1)=e^2\) donne :

\[ Ce^{2}=e^2. \]

Donc :

\[ C=1. \]

La solution cherchée est donc :

\[ \boxed{y(x)=e^{2x}} \]

On reconnaît l’équation :

\[ y'=ay+b \]

avec \(a=3\) et \(b=6\).

La solution générale est donc :

\[ y(x)=Ce^{3x}-\frac{6}{3}=Ce^{3x}-2. \]

Donc :

\[ \boxed{y(x)=Ce^{3x}-2} \]

On a \(a=-4\) et \(b=8\).

Donc :

\[ y(x)=Ce^{-4x}-\frac{8}{-4}=Ce^{-4x}+2. \]

La solution générale est :

\[ \boxed{y(x)=Ce^{-4x}+2} \]

Ici \(a=2\) et \(b=4\), donc

\[ y(x)=Ce^{2x}-\frac{4}{2}=Ce^{2x}-2. \]

La condition initiale donne :

\[ y(0)=C-2=1. \]

Donc :

\[ C=3. \]

La solution cherchée est :

\[ \boxed{y(x)=3e^{2x}-2} \]

On a \(a=-3\) et \(b=9\), donc :

\[ y(x)=Ce^{-3x}-\frac{9}{-3}=Ce^{-3x}+3. \]

Avec \(y(0)=4\), on obtient :

\[ C+3=4 \Longrightarrow C=1. \]

Donc :

\[ \boxed{y(x)=e^{-3x}+3} \]

On a :

\[ y(0)=Ce^0=C. \]

Or \(y(0)=7\), donc :

\[ \boxed{C=7} \]

On dérive :

\[ f'(x)=8e^{2x}. \]

Calculons ensuite :

\[ 2f(x)+6=2(4e^{2x}-3)+6=8e^{2x}-6+6=8e^{2x}. \]

Ainsi :

\[ f'(x)=2f(x)+6. \]

Donc \(f\) est bien solution de l’équation différentielle.

On a :

\[ f'(x)=-5e^{-x}. \]

Or

\[ f(x)=5e^{-x}+2 \quad \Longrightarrow \quad 5e^{-x}=f(x)-2. \]

Donc :

\[ f'(x)=-(f(x)-2)=-f(x)+2. \]

Une équation différentielle convenable est donc :

\[ \boxed{y'=-y+2} \]

La solution générale est :

\[ y(x)=Ce^{0{,}5x}. \]

Avec \(y(0)=10\), on obtient :

\[ C=10. \]

Donc :

\[ \boxed{y(x)=10e^{0{,}5x}} \]

La solution générale est :

\[ y(x)=Ce^{-0{,}2x}. \]

Avec \(y(0)=50\), on trouve :

\[ C=50. \]

Ainsi :

\[ \boxed{y(x)=50e^{-0{,}2x}} \]

Pour \(x=0\) :

\[ y(0)=3e^0-1=3-1=2. \]

Pour \(x=1\) :

\[ y(1)=3e^2-1. \]

Donc :

\[ \boxed{y(0)=2 \quad ext{et} \quad y(1)=3e^2-1} \]

On a :

\[ y(2)=Ce^{-6}+4. \]

Or \(y(2)=4+e^{-6}\). Donc :

\[ Ce^{-6}+4=4+e^{-6}. \]

Par simplification :

\[ Ce^{-6}=e^{-6}. \]

Donc :

\[ \boxed{C=1} \]

On a \(a=6\) et \(b=-12\). La solution générale est :

\[ y(x)=Ce^{6x}-\frac{-12}{6}=Ce^{6x}+2. \]

Avec \(y(0)=0\), on obtient :

\[ C+2=0 \Longrightarrow C=-2. \]

La solution cherchée est donc :

\[ \boxed{y(x)=-2e^{6x}+2} \]

On a \(a=-5\) et \(b=15\), donc :

\[ y(x)=Ce^{-5x}-\frac{15}{-5}=Ce^{-5x}+3. \]

La bonne réponse est donc :

\[ \boxed{\text{B. } y(x)=Ce^{-5x}+3} \]

L’équation est de la forme :

\[ y'=ay \]

avec \(a=-0{,}8<0\).

La solution générale est :

\[ y(x)=Ce^{-0{,}8x}. \]

Comme l’exponentielle comporte un coefficient négatif dans l’exposant, on obtient une décroissance exponentielle.

La solution générale de \(y'=y-3\) est :

\[ y(x)=Ce^x-\frac{-3}{1}=Ce^x+3. \]

Avec \(y(0)=5\), on obtient :

\[ C+3=5 \Longrightarrow C=2. \]

Donc la solution cherchée est :

\[ \boxed{y(x)=2e^x+3} \]