Learna | Équations différentielles | Quiz — Terminale STI2D Maths

Q1. La solution générale de \(y'=3y\) est : Non vérifié

\(Ce^{3x}\) \(3e^x\) \(Ce^x+3\) \(Ce^{-3x}\)

Indice

Pour \(y'=ay\), la formule est \(Ce^{ax}\).

Correction

Ici \(a=3\), donc la solution générale est \(\boxed{y(x)=Ce^{3x}}\).

Q2. La solution générale de \(y'=-2y\) est : Non vérifié

\(Ce^{-2x}\) \(Ce^{2x}\) \(-2e^x\) \(Ce^{-x}\)

Indice

Le coefficient \(a\) vaut \(-2\).

Correction

Comme \(a=-2\), on obtient \(\boxed{y(x)=Ce^{-2x}}\).

Q3. La solution générale de \(y'=2y+4\) est : Non vérifié

\(Ce^{2x}-2\) \(Ce^{2x}+2\) \(Ce^x-2\) \(2e^{2x}+4\)

Indice

Utiliser \(Ce^{ax}-\frac{b}{a}\).

Correction

Ici \(a=2\) et \(b=4\), donc \(-\frac{b}{a}=-2\). Ainsi \(\boxed{y(x)=Ce^{2x}-2}\).

Q4. La solution générale de \(y'=-4y+8\) est : Non vérifié

\(Ce^{-4x}+2\) \(Ce^{-4x}-2\) \(Ce^{4x}+2\) \(Ce^{4x}-2\)

Indice

Attention au signe de \(-\frac{b}{a}\).

Correction

On a \(a=-4\), \(b=8\), donc \(-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-4}=2\). La solution est \(\boxed{Ce^{-4x}+2}\).

Q5. Si \(y(x)=Ce^{5x}\) et \(y(0)=3\), alors \(C\) vaut : Non vérifié

\(3\) \(5\) \(0\) \(e^5\)

Indice

Remplacer \(x\) par 0.

Correction

On a \(y(0)=Ce^0=C\). Comme \(y(0)=3\), on obtient \(\boxed{C=3}\).

Q6. La solution particulière de \(y'=y\) vérifiant \(y(0)=4\) est : Non vérifié

\(4e^x\) \(e^{4x}\) \(4e^{4x}\) \(e^x+4\)

Indice

Solution générale : \(Ce^x\).

Correction

On écrit \(y(x)=Ce^x\). Puis \(y(0)=C=4\). Donc \(\boxed{y(x)=4e^x}\).

Q7. La solution particulière de \(y'=3y-6\) vérifiant \(y(0)=4\) est : Non vérifié

\(2e^{3x}+2\) \(4e^{3x}-2\) \(2e^x+2\) \(2e^{3x}-2\)

Indice

Commencer par la solution générale.

Correction

Solution générale : \(y(x)=Ce^{3x}+2\). Puis \(y(0)=C+2=4\), donc \(C=2\). Ainsi \(\boxed{y(x)=2e^{3x}+2}\).

Q8. Une fonction \(f\) est solution de \(y'=2y\) si : Non vérifié

\(f'(x)=2f(x)\) \(f(x)=2x\) \(f'(x)=f(x)+2\) \(f(x)=e^2\)

Indice

Il faut remplacer \(y\) par \(f(x)\) et \(y'\) par \(f'(x)\).

Correction

Par définition, \(f\) est solution si elle vérifie l’égalité \(\boxed{f'(x)=2f(x)}\) pour tout \(x\).

Q9. Si \(f(x)=3e^{2x}\), alors \(f'(x)\) vaut : Non vérifié

\(6e^{2x}\) \(3e^x\) \(2e^{2x}\) \(6e^x\)

Indice

La dérivée de \(e^{2x}\) est \(2e^{2x}\).

Correction

On dérive : \(f'(x)=3\times 2e^{2x}=\boxed{6e^{2x}}\).

Q10. Si \(f(x)=4e^{2x}-3\), alors \(f\) est solution de : Non vérifié

\(y'=2y+6\) \(y'=2y-6\) \(y'=y+6\) \(y'=2y+3\)

Indice

Calcule \(f'(x)\) puis exprime-le avec \(f(x)\).

Correction

On a \(f'(x)=8e^{2x}\). Or \(2f(x)+6=2(4e^{2x}-3)+6=8e^{2x}\). Donc \(f\) vérifie \(\boxed{y'=2y+6}\).

Q11. Le rôle de la condition initiale est de : Non vérifié

déterminer la constante \(C\) changer la dérivée supprimer l’exponentielle déterminer \(a\)

Indice

Elle permet de passer de la solution générale à la solution particulière.

Correction

La condition initiale sert à calculer la constante \(C\).

Q12. Dans \(y'=ay+b\), l’expression correcte de la solution générale est : Non vérifié

\(Ce^{ax}-\frac{b}{a}\) \(Ce^{ax}+\frac{b}{a}\) \(Ce^x-b\) \(Ce^{bx}-\frac{a}{b}\)

Indice

C’est la formule à connaître par cœur.

Correction

La forme générale est bien \(\boxed{y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}}\), avec \(a\neq0\).

Q13. Pour \(y'=-5y+10\), le terme constant de la solution générale est : Non vérifié

\(+2\) \(-2\) \(+5\) \(-5\)

Indice

Calculer \(-\frac{b}{a}\).

Correction

Ici \(a=-5\), \(b=10\). Donc \(-\frac{b}{a}=-\frac{10}{-5}=2\).

Q14. Si \(y'=0{,}4y\), on observe une : Non vérifié

croissance exponentielle décroissance exponentielle fonction affine fonction constante

Indice

Regarde le signe de \(a\).

Correction

Comme \(a=0{,}4>0\), la solution \(Ce^{0{,}4x}\) traduit une croissance exponentielle.

Q15. Si \(y'=-0{,}8y\), on observe une : Non vérifié

décroissance exponentielle croissance exponentielle fonction affine oscillation

Indice

Le coefficient est négatif.

Correction

Comme \(a<0\), la solution \(Ce^{-0{,}8x}\) décroît.

Q16. Résoudre : \(y'=7y\). Donner la solution générale. Non vérifié

Indice

Forme \(y'=ay\).

Correction

La solution générale est \(\boxed{y(x)=Ce^{7x}}\).

Q17. Résoudre : \(y'=2y+10\). Donner la solution générale. Non vérifié

Indice

Utilise \(Ce^{ax}-\frac{b}{a}\).

Correction

Ici \(a=2\), \(b=10\), donc \(\boxed{y(x)=Ce^{2x}-5}\).

Q18. Résoudre \(y'=3y\) avec \(y(0)=2\). Non vérifié

Indice

Commence par \(Ce^{3x}\).

Correction

Solution générale : \(Ce^{3x}\). Puis \(y(0)=C=2\). Donc \(\boxed{y(x)=2e^{3x}}\).

Q19. Résoudre \(y'=-4y+8\) avec \(y(0)=1\). Non vérifié

Indice

La solution générale vaut \(Ce^{-4x}+2\).

Correction

On écrit \(y(x)=Ce^{-4x}+2\). Puis \(y(0)=C+2=1\), donc \(C=-1\). Ainsi \(\boxed{y(x)=-e^{-4x}+2}\).

Q20. Trouver \(C\) si \(y(x)=Ce^{2x}-3\) et \(y(0)=5\). Non vérifié

Indice

Remplace \(x\) par 0.

Correction

On a \(y(0)=C-3=5\), donc \(C=8\).