Équations différentielles | Cours — Terminale STI2D Maths | Learna

Cours — Équations différentielles

Notion de solution • équations du type \(y' = ay\) • équations du type \(y' = ay+b\) • condition initiale • modélisation et applications.

Objectifs Définition \(y'=ay\) \(y'=ay+b\) Condition initiale Méthode Applications Formulaire

1) Objectifs du chapitre

Compétences attendues

Reconnaître une équation différentielle.
Vérifier qu’une fonction est solution d’une équation donnée.
Résoudre une équation du type \(y' = ay\).
Résoudre une équation du type \(y' = ay+b\).
Déterminer la constante grâce à une condition initiale.
Interpréter une solution dans un contexte de modélisation.

Idée générale

Une équation différentielle relie une fonction inconnue \(y\) et sa dérivée \(y'\). On ne cherche donc pas un nombre, mais une fonction.

Dans ce chapitre, on se limite aux formes : \[ y' = ay \qquad \text{et} \qquad y' = ay+b \] où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.

2) Définition et notion de solution

Une solution d’une équation différentielle sur un intervalle \(I\) est une fonction dérivable sur \(I\) qui vérifie l’égalité pour tout \(x\in I\).

Exemple

Considérons : \[ y' = 2y \] Vérifions que \(f(x)=3e^{2x}\) est solution.

On dérive : \[ f'(x)=3\times 2e^{2x}=6e^{2x} \] et \[ 2f(x)=2\times 3e^{2x}=6e^{2x} \] donc \(f'(x)=2f(x)\).

Réflexe à avoir

On dérive la fonction proposée.
On remplace \(y\) par la fonction et \(y'\) par sa dérivée.
On compare les deux membres.
Si l’égalité est vraie pour tout \(x\), la fonction est solution.

Attention : une équation différentielle admet en général une famille de solutions, pas une seule.

3) Équation différentielle du type \(y' = ay\)

Si \(a\) est un réel, alors les solutions de \[ y' = ay \] sont les fonctions : \[ \boxed{y(x)=Ce^{ax}} \] où \(C\) est une constante réelle.

Pourquoi ?

Si \[ y(x)=Ce^{ax}, \] alors \[ y'(x)=aCe^{ax}=ay(x). \] Donc toute fonction de cette forme convient.

Lecture du paramètre \(C\)

La constante \(C\) dépend de la situation. Une condition comme \(y(0)=5\) ou \(y(2)=7\) permet de la déterminer.

Exemple 1 — Résoudre \(y' = 3y\)

On reconnaît la forme \(y'=ay\) avec \(a=3\).
La solution générale est donc : \[ \boxed{y(x)=Ce^{3x}} \]

Exemple 2 — Résoudre \(y'=-2y\)

Ici \(a=-2\). Donc : \[ \boxed{y(x)=Ce^{-2x}} \]

4) Équation différentielle du type \(y' = ay+b\)

Si \(a\neq 0\), alors les solutions de \[ y' = ay+b \] sont les fonctions : \[ \boxed{y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}} \] où \(C\) est une constante réelle.

Vérification

Posons \[ y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}. \] Alors : \[ y'(x)=aCe^{ax}. \] Et \[ ay(x)+b = a\left(Ce^{ax}-\frac{b}{a}\right)+b = aCe^{ax}-b+b = aCe^{ax}. \] Donc \(y'=ay+b\).

À retenir

On retrouve toujours :

une partie exponentielle \(Ce^{ax}\),
puis une constante \(-\dfrac{b}{a}\).

Exemple 3 — Résoudre \(y'=2y+6\)

Ici \(a=2\) et \(b=6\).
Donc : \[ y(x)=Ce^{2x}-\frac{6}{2}=Ce^{2x}-3 \] Ainsi, \[ \boxed{y(x)=Ce^{2x}-3} \]

Exemple 4 — Résoudre \(y'=-4y+8\)

Ici \(a=-4\) et \(b=8\).
Donc : \[ y(x)=Ce^{-4x}-\frac{8}{-4}=Ce^{-4x}+2 \] Ainsi, \[ \boxed{y(x)=Ce^{-4x}+2} \]

5) Utiliser une condition initiale

Une condition initiale permet de trouver la constante \(C\) et donc d’obtenir la solution particulière.

Exemple 5 — Avec \(y'=3y\) et \(y(0)=5\)

Solution générale : \[ y(x)=Ce^{3x} \] Or \(y(0)=5\), donc : \[ C e^{0}=5 \Rightarrow C=5 \] Finalement : \[ \boxed{y(x)=5e^{3x}} \]

Exemple 6 — Avec \(y'=2y+4\) et \(y(0)=1\)

Solution générale : \[ y(x)=Ce^{2x}-2 \] Or \(y(0)=1\), donc : \[ C-2=1 \Rightarrow C=3 \] Donc : \[ \boxed{y(x)=3e^{2x}-2} \]

Réflexe : on écrit d’abord la solution générale, puis seulement après on remplace la condition initiale.

6) Méthode générale de résolution

Étape	Ce qu’on fait
1 Identifier	Reconnaître si l’équation est du type \(y'=ay\) ou \(y'=ay+b\).
2 Écrire	Donner la solution générale adaptée.
3 Remplacer	Utiliser la condition initiale si elle est donnée.
4 Conclure	Présenter la solution finale clairement et proprement.

Pièges classiques :

oublier la constante \(C\),
se tromper sur le signe de \(-\dfrac{b}{a}\),
appliquer la condition initiale trop tôt,
oublier que \(e^0=1\).

7) Applications et interprétation

Croissance / décroissance

Une relation du type \[ y'=ay \] modélise souvent une évolution proportionnelle à la quantité présente : croissance si \(a>0\), décroissance si \(a<0\).

Évolution vers une valeur d’équilibre

Une relation du type \[ y'=ay+b \] peut modéliser une quantité qui évolue vers une valeur constante. La constante \(-\dfrac{b}{a}\) joue souvent le rôle de niveau d’équilibre.

Exemple 7 — Température d’un système

Si une température \(T\) vérifie : \[ T'=-0{,}5T+10, \] alors la solution générale est : \[ T(t)=Ce^{-0{,}5t}-\frac{10}{-0{,}5}=Ce^{-0{,}5t}+20. \] On voit apparaître la valeur \(20\), qui représente la température d’équilibre.

8) Mini-formulaire à connaître

Formules essentielles

\[ y' = ay \quad \Longrightarrow \quad \boxed{y(x)=Ce^{ax}} \] \[ y' = ay+b \quad \Longrightarrow \quad \boxed{y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}} \quad (a\neq 0) \]

Condition initiale

1. On écrit la solution générale. 2. On remplace la valeur donnée, par exemple \(y(0)=k\). 3. On calcule \(C\). 4. On donne la solution particulière.

À bannir : écrire directement une seule solution sans constante, ou oublier que la dérivée de \(e^{ax}\) est \(ae^{ax}\).

Checklist “copie parfaite”

Je reconnais immédiatement si l’équation est du type \(y'=ay\) ou \(y'=ay+b\).
Je connais les deux formes de solutions par cœur.
Je garde toujours la constante \(C\) tant que la condition initiale n’a pas été utilisée.
Je remplace proprement la condition initiale pour trouver \(C\).
Je présente la réponse finale sous forme d’une fonction.