Equations Differentielles
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Équations différentielles
Formes usuelles • solutions générales • conditions initiales • méthode rapide • pièges à éviter
Essentiel à connaître
1 Définition
Une équation différentielle relie une fonction inconnue et sa dérivée.
Exemple :
\[
y'=2y.
\]
2 Forme \(y'=ay\)
\[
y'=ay
\quad \Longrightarrow \quad
y(x)=Ce^{ax}
\]
où \(C\in\mathbb{R}\).
3 Forme \(y'=ay+b\)
\[
y'=ay+b
\quad \Longrightarrow \quad
y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}
\]
avec \(a\neq 0\).
4 Condition initiale
Si on connaît une valeur comme
\[
y(x_0)=y_0,
\]
alors on remplace \(x\) par \(x_0\) pour déterminer \(C\).
Méthodes ultra-rapides
Méthode 1 — Résoudre \(y'=ay\)
- Identifier \(a\).
- Écrire \(y(x)=Ce^{ax}\).
- Utiliser la condition initiale si elle existe.
Exemple :
\[
y'=3y \Rightarrow y(x)=Ce^{3x}
\]
Méthode 2 — Résoudre \(y'=ay+b\)
- Identifier \(a\) et \(b\).
- Écrire \(y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\).
- Appliquer la condition initiale.
Exemple :
\[
y'=2y+6 \Rightarrow y(x)=Ce^{2x}-3
\]
| Type | Solution générale | Réflexe |
|---|---|---|
| \(y'=ay\) | \(Ce^{ax}\) | garder \(C\) |
| \(y'=ay+b\) | \(Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\) | attention au signe |
Pièges fréquents
Piège 1 : oublier la constante \(C\).
Faux : \(y=e^{2x}\)
Correct : \(y=Ce^{2x}\)
Faux : \(y=e^{2x}\)
Correct : \(y=Ce^{2x}\)
Piège 2 : erreur de signe dans
\[
-\frac{b}{a}.
\]
Exemple :
\[
y'=3y-6 \Rightarrow y=Ce^{3x}+2.
\]
Piège 3 : appliquer la condition initiale trop tôt.
Il faut d’abord écrire la solution générale.
Il faut d’abord écrire la solution générale.
Piège 4 : ne pas vérifier.
Un contrôle rapide en dérivant évite beaucoup d’erreurs.
Un contrôle rapide en dérivant évite beaucoup d’erreurs.
Mini-tests corrigés
Test 1
Résoudre :
\[
y'=-2y.
\]
\[
\boxed{y(x)=Ce^{-2x}}
\]
Test 2
Résoudre :
\[
y'=4y+8.
\]
\[
\boxed{y(x)=Ce^{4x}-2}
\]
Test 3
Résoudre :
\[
y'=y
\quad \text{avec} \quad
y(0)=3.
\]
\[
\boxed{y(x)=3e^x}
\]
Test 4
Résoudre :
\[
y'=-5y+10
\quad \text{avec} \quad
y(0)=1.
\]
Solution générale :
\[
y(x)=Ce^{-5x}+2
\]
Puis :
\[
C+2=1 \Rightarrow C=-1
\]
donc
\[
\boxed{y(x)=-e^{-5x}+2}
\]