Composition De Fonctions
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Composition de fonctions
Composition • dérivée des composées usuelles • primitives par changement de variable.
Essentiel à connaître
1 Composition
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
\]
On lit de droite à gauche : on applique d’abord \(g\), puis \(f\).
2 Non-commutativité
En général :
\[
f\circ g \neq g\circ f.
\]
Formules de dérivation
| Expression | Dérivée |
|---|---|
| \((u(x))^n\) | \(n\,u'(x)(u(x))^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) | \(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) |
| \(\dfrac{1}{u(x)}\) | \(-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\) |
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x)e^{u(x)}\) |
| \(\ln(u(x))\) | \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) |
Conditions :
- \(\sqrt{u(x)}\) : il faut \(u(x)\ge 0\).
- \(\ln(u(x))\) : il faut \(u(x)>0\).
- \(\dfrac1{u(x)}\) : il faut \(u(x)\neq 0\).
Formules de primitives
| Expression | Une primitive |
|---|---|
| \(u'(x)e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}+C\) |
| \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)|+C\) |
| \(u'(x)(u(x))^n\) | \(\dfrac{(u(x))^{n+1}}{n+1}+C\), si \(n\neq -1\) |
| \(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) | \(\sqrt{u(x)}+C\) |
Réflexe : je cherche une expression intérieure \(u(x)\), puis je vérifie si sa dérivée apparaît devant.
Pièges fréquents
Oublier le facteur \(u'(x)\) dans une dérivée composée.
Oublier le coefficient \(\frac12\) dans une primitive de type \(\dfrac1{2x+1}\).
Confondre composition et produit.
Oublier le domaine de définition pour \(\ln\) et \(\sqrt{}\).
Mini-test express
Question 1
Dériver \(f(x)=e^{3x+2}\).
\[
f'(x)=3e^{3x+2}.
\]
Question 2
Une primitive de \(\dfrac{4x}{2x^2+1}\) ?
\[
\ln(2x^2+1)+C.
\]