Terminale STI2D Mathématiques Composition de fonctions

Quiz — Composition de fonctions

20 questions sur les compositions usuelles, la dérivation des fonctions composées et les primitives par changement de variable.

Quiz — Composition de fonctions

20 questions sur les compositions usuelles, la dérivation des fonctions composées et les primitives par changement de variable.

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Q1. On définit \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\). Quelle est l’expression de \(g\circ f\) ? Non vérifié
Indice
On remplace d’abord \(x\) par \(f(x)\) dans la fonction \(g\).
Correction
On a \(g(x)=x^2\). Donc \(g(f(x))=[f(x)]^2=(2x+1)^2\).
Q2. Avec \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\), que vaut \((f\circ g)(x)\) ? Non vérifié
Indice
Ici on calcule \(f(g(x))\).
Correction
Comme \(g(x)=x^2\), on remplace \(x\) par \(x^2\) dans \(f(x)=2x+1\). Donc \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).
Q3. Si \(f(x)=x-3\) et \(g(x)=\sqrt{x}\), alors \((g\circ f)(x)\) vaut : Non vérifié
Indice
La fonction extérieure est \(g\).
Correction
On remplace \(x\) par \(f(x)=x-3\) dans \(g(x)=\sqrt{x}\). On obtient \((g\circ f)(x)=\sqrt{x-3}\).
Q4. Si \(f(x)=x^2+1\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\), alors \((g\circ f)(x)\) est : Non vérifié
Indice
On prend l’inverse de toute l’expression \(f(x)\).
Correction
Comme \(g(x)=\dfrac{1}{x}\), on remplace \(x\) par \(f(x)=x^2+1\) : \((g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\).
Q5. Soit \(f(x)=3x-2\) et \(g(x)=x^2\). Calculer \((g\circ f)(2)\). Non vérifié
Indice
Calculer d’abord \(f(2)\), puis appliquer \(g\).
Correction
On a \(f(2)=3\times2-2=4\). Puis \(g(4)=4^2=16\). Donc \((g\circ f)(2)=16\).
Q6. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\). Quel est l’ensemble de définition de \((g\circ f)(x)\) ? Non vérifié
Indice
Il faut éviter que le dénominateur soit nul.
Correction
On a \((g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x+1}\). Cette expression est définie si \(x+1\neq0\), soit \(x\neq-1\).
Q7. Si \(f(x)=x^2-5\) et \(g(x)=\sqrt{x}\), l’ensemble de définition de \((g\circ f)(x)\) est : Non vérifié
Indice
Il faut imposer \(x^2-5\ge 0\).
Correction
Comme \((g\circ f)(x)=\sqrt{x^2-5}\), il faut \(x^2-5\ge0\), donc \(x^2\ge5\), soit \(x\le-\sqrt5\) ou \(x\ge\sqrt5\). Parmi les réponses proposées, la bonne logique attendue est l’ensemble extérieur ; avec valeur exacte, cela donne \(]-\infty;-\sqrt5]\cup[\sqrt5;+\infty[\).
Q8. Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des compositions de la forme \(u(v(x))\) ? Non vérifié
Indice
Une fonction affine seule n’est pas vraiment présentée ici comme composition non triviale.
Correction
\(\sqrt{3x+1}\) est la composition de \(u(x)=\sqrt{x}\) et \(v(x)=3x+1\).
\((2x-5)^4\) est la composition de \(u(x)=x^4\) et \(v(x)=2x-5\).
\(\dfrac{1}{x^2+3}\) est la composition de \(u(x)=\dfrac1x\) et \(v(x)=x^2+3\).
\(2x+7\) est seulement affine.
Q9. Si \(f(x)=(3x+2)^5\), alors \(f'(x)=\) ? Non vérifié
Indice
Utiliser \((u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\).
Correction
On pose \(u(x)=3x+2\). Alors \(u'(x)=3\). Donc \([(3x+2)^5]'=5\times3\times(3x+2)^4=15(3x+2)^4\).
Q10. La dérivée de \(f(x)=\sqrt{2x+7}\) est : Non vérifié
Indice
La dérivée de \(\sqrt{u}\) est \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\).
Correction
Avec \(u(x)=2x+7\), on a \(u'(x)=2\). Donc \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+7}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+7}}\).
Q11. La dérivée de \(f(x)=\dfrac{1}{(x-4)^2}\) est : Non vérifié
Indice
Écrire d’abord \((x-4)^{-2}\).
Correction
On écrit \(f(x)=(x-4)^{-2}\). Donc \(f'(x)=-2(x-4)^{-3}\times1=-\dfrac{2}{(x-4)^3}\).
Q12. La dérivée de \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5x-1}}\) est : Non vérifié
Indice
Écrire \(f(x)=(5x-1)^{-1/2}\).
Correction
On a \(f(x)=(5x-1)^{-1/2}\). Donc \(f'(x)=-\dfrac12(5x-1)^{-3/2}\times5=-\dfrac{5}{2(5x-1)^{3/2}}\).
Q13. Si \(f(x)=\mathrm{e}^{4x-3}\), alors \(f'(x)=\) ? Non vérifié
Indice
La dérivée de \(\mathrm{e}^{u}\) est \(u'\mathrm{e}^{u}\).
Correction
Avec \(u(x)=4x-3\), on a \(u'(x)=4\). Donc \(f'(x)=4\mathrm{e}^{4x-3}\).
Q14. Si \(f(x)=\ln(2x+1)\), alors \(f'(x)=\) ? Non vérifié
Indice
La dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u'}{u}\).
Correction
Avec \(u(x)=2x+1\), on a \(u'(x)=2\). Donc \(f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\).
Q15. Une primitive de \(f(x)=(2x+3)^4\) est : Non vérifié
Indice
Pour \((ax+b)^n\), on divise aussi par la dérivée de l’intérieur.
Correction
On sait que \(\int u^n\,dx=\dfrac{u^{n+1}}{(n+1)u'}\) quand \(u=ax+b\). Ici \(u=2x+3\), \(u'=2\). Donc une primitive est \(\dfrac{(2x+3)^5}{5\times2}=\dfrac{(2x+3)^5}{10}\).
Q16. Une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{3x-2}\) est : Non vérifié
Indice
Comparer avec \(\int \dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|\).
Correction
Comme \((3x-2)'=3\), une primitive de \(\dfrac{1}{3x-2}\) est \(\dfrac13\ln|3x-2|\). Dans les formes usuelles attendues, on retient \(\dfrac13\ln(3x-2)\) sur l’intervalle adapté.
Q17. Une primitive de \(f(x)=\mathrm{e}^{5x+1}\) est : Non vérifié
Indice
On compense la dérivée de \(5x+1\).
Correction
La dérivée de \(5x+1\) vaut 5. Donc une primitive de \(\mathrm{e}^{5x+1}\) est \(\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{5x+1}\).
Q18. Une primitive de \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) est : Non vérifié
Indice
Reconnaître la forme \(\dfrac{u'}{u}\).
Correction
On pose \(u(x)=x^2+1\). Alors \(u'(x)=2x\). Donc \(f(x)=\dfrac{u'}{u}\), et une primitive est \(\ln(x^2+1)\).
Q19. Donner une primitive de \(f(x)=6x(3x^2+5)^4\). Non vérifié
Indice
Poser \(u=3x^2+5\). Sa dérivée apparaît devant.
Correction
On pose \(u=3x^2+5\), alors \(u'=6x\). Donc on intègre \(u^4u'\), ce qui donne \(\dfrac{u^5}{5}+C\). Ainsi une primitive est \(\boxed{\dfrac{(3x^2+5)^5}{5}}\).
Q20. Donner une primitive de \(f(x)=\dfrac{4}{4x-7}\). Non vérifié
Indice
La dérivée de \(4x-7\) est 4.
Correction
Comme \((4x-7)'=4\), la fonction est exactement de la forme \(\dfrac{u'}{u}\). Donc une primitive est \(\boxed{\ln|4x-7|}\). Sur un intervalle où \(4x-7>0\), on peut écrire \(\ln(4x-7)\).