Exercices corrigés — Composition de fonctions (Tle STI2D)

\[ (f\circ g)(x)=f(2x+3)=(2x+3)^2=4x^2+12x+9. \] \[ (g\circ f)(x)=g(x^2)=2x^2+3. \] Les deux fonctions sont différentes, donc en général : \[ f\circ g eq g\circ f. \]

1. \(h(x)=(3x-1)^5\) : \(u(x)=3x-1\) et \(F(X)=X^5\).
2. \(k(x)=\sqrt{7x+4}\) : \(u(x)=7x+4\) et \(F(X)=\sqrt{X}\).
3. \(m(x)=e^{2x^2+1}\) : \(u(x)=2x^2+1\) et \(F(X)=e^X\).

On pose \(u(x)=5x-2\), donc \(u'(x)=5\).
Alors : \[ f'(x)=4(5x-2)^3 imes 5 = 20(5x-2)^3. \]

On pose \(u(x)=6x+1\), donc \(u'(x)=6\).
Ainsi : \[ f'(x)=rac{6}{2\sqrt{6x+1}}=rac{3}{\sqrt{6x+1}}. \]

On pose \(u(x)=4x-7\), alors \(u'(x)=4\).
Donc : \[ f'(x)=4e^{4x-7}. \]

On pose \(u(x)=3x^2+5\), donc \(u'(x)=6x\).
Par conséquent : \[ f'(x)=rac{6x}{3x^2+5}. \]

\[ (f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+1. \] \[ (g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1. \] Donc les deux compositions sont différentes.

Posons \(u(x)=4x^2+1\). Alors \(u'(x)=8x\).
L’expression est de la forme \(u'(x)e^{u(x)}\).
Donc une primitive est : \[ F(x)=e^{4x^2+1}+C. \]

Posons \(u(x)=2x+5\). Alors \(u'(x)=2\).
On reconnaît : \[ rac{u'(x)}{u(x)}. \] Donc une primitive est : \[ F(x)=\ln|2x+5|+C. \]

Posons \(u(x)=3x-1\), alors \(u'(x)=3\).
Donc : \[ \int 3(3x-1)^2\,dx = \int u'(x)(u(x))^2\,dx. \] Une primitive est : \[ rac{(3x-1)^3}{3}+C. \]

On pose \(u(x)=x^2+1\), donc \(u'(x)=2x\).
Comme \(\left(\dfrac1u ight)'=-\dfrac{u'}{u^2}\), on obtient : \[ f'(x)=-rac{2x}{(x^2+1)^2}. \]

Domaine : \[ 5-2x>0 \iff x<rac52. \] Donc \(f\) est définie sur \(]-\infty;rac52[\).

Avec \(u(x)=5-2x\), on a \(u'(x)=-2\).
Donc : \[ f'(x)=rac{-2}{5-2x}. \]

\[ (f\circ g)(x)=f(x^2+4)=\sqrt{x^2+4}. \] \[ (g\circ f)(x)=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2+4=x+4. \] La seconde n’est valable que pour \(x\ge 0\).

On sait que : \[ \left(\ln|2x+1| ight)'=rac{2}{2x+1}. \] Donc une primitive de \(\dfrac{1}{2x+1}\) est : \[ rac12\ln|2x+1|+C. \]

Posons \(u(x)=x^2+3x-1\). Alors : \[ u'(x)=2x+3. \] Donc : \[ f'(x)=5(x^2+3x-1)^4(2x+3). \]

Posons \(u(x)=3x+2\), donc \(u'(x)=3\).
Or : \[ \left(\sqrt{u(x)} ight)'=rac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}. \] Ici : \[ rac{3}{\sqrt{3x+2}} = 2\cdot rac{3}{2\sqrt{3x+2}}. \] Une primitive est donc : \[ 2\sqrt{3x+2}+C. \]

\[ f_1'(x)=7e^{7x}, \qquad f_2'(x)=rac{2x}{x^2+1}, \qquad f_3'(x)=rac{4}{2\sqrt{4x-3}}=rac{2}{\sqrt{4x-3}}. \]

Avec \(u(x)=5x^2+4\), on a \(u'(x)=10x\).
Donc : \[ \int 10x(5x^2+4)^6\,dx = \int u'(x)(u(x))^6\,dx = rac{(5x^2+4)^7}{7}+C. \]

Domaine : \[ x-1>0 \iff x>1. \] Donc \(f\) est définie sur \(]1;+\infty[\).
En posant \(u(x)=x-1\), on a \(u'(x)=1\), donc : \[ f'(x)=rac{1}{x-1}. \]

1. On peut écrire : \[ f(x)=e^{u(x)} \quad ext{avec} \quad u(x)=x^2-1. \] Donc \(f\) est bien une fonction composée.

2. Comme \(u'(x)=2x\), on obtient : \[ f'(x)=2x\,e^{x^2-1}. \]
3. L’expression \(g(x)=2x\,e^{x^2-1}\) est de la forme \(u'(x)e^{u(x)}\).
Une primitive est donc : \[ G(x)=e^{x^2-1}+C. \]