Composition de fonctions | Cours — Terminale STI2D Maths | Learna

Cours — Composition de fonctions

Composer deux fonctions • reconnaître une fonction composée • dériver des formes usuelles • déterminer des primitives par changement de variable simple.

Objectifs Définition Lecture Dérivée Primitives Méthodes Pièges Bilan

1) Objectifs du chapitre

Ce qu’il faut savoir faire

Reconnaître une écriture du type \(f(g(x))\).
Déterminer l’ordre correct des opérations dans une composition.
Composer deux fonctions simples : affine, carré, inverse, racine, exponentielle, logarithme.
Dériver une fonction composée à l’aide de la formule \((u\circ v)'=(u'\circ v)\cdot v'\).
Retrouver rapidement des primitives usuelles de la forme \(u'(x)\,f(u(x))\).

Idée essentielle

Une composition, c’est une fonction “appliquée après une autre”.

Si \(g\) agit d’abord puis \(f\) agit ensuite, on écrit : \[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]

2) Définition de la composition

A Définition

Soient deux fonctions \(f\) et \(g\).
La composée de \(f\) par \(g\) est la fonction notée \(f\circ g\), définie par : \[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]

B Sens de lecture

Même si on écrit \(f\circ g\), on commence par calculer \(g(x)\), puis on applique \(f\) au résultat obtenu.

\(x \longrightarrow g(x) \longrightarrow f(g(x))\)

Exemple 1 — Composition simple

Soit \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=3x-1\).
Alors : \[ (f\circ g)(x)=f(3x-1)=(3x-1)^2. \] En revanche : \[ (g\circ f)(x)=g(x^2)=3x^2-1. \]

On voit déjà que, en général, \[ f\circ g \neq g\circ f. \]

3) Lire et reconnaître une fonction composée

Exemple

\[ h(x)=(5x-2)^4 \] est une composée : \[ h=f\circ u \] avec \[ u(x)=5x-2 \quad\text{et}\quad f(X)=X^4. \]

Exemple

\[ h(x)=\sqrt{2x+7} \] est une composée : \[ h=f\circ u \] avec \[ u(x)=2x+7 \quad\text{et}\quad f(X)=\sqrt{X}. \]

Exemple

\[ h(x)=e^{3x+1} \] est une composée : \[ h=f\circ u \] avec \[ u(x)=3x+1 \quad\text{et}\quad f(X)=e^X. \]

Réflexe : repérer la fonction extérieure et la fonction intérieure.
Dans \(\ln(4x-3)\), la fonction extérieure est \(\ln\), et la fonction intérieure est \(4x-3\).

4) Dérivée d’une fonction composée

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle et si \(f\) est dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par \(u\), alors : \[ (f\circ u)'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x). \]

Formes usuelles à connaître

Fonction	Dérivée
\((u(x))^n\)	\(n\,u'(x)\,(u(x))^{n-1}\)
\(\sqrt{u(x)}\)	\(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)
\(\dfrac{1}{u(x)}\)	\(-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\)
\(e^{u(x)}\)	\(u'(x)e^{u(x)}\)
\(\ln(u(x))\)	\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)

Conditions importantes

Pour \(\sqrt{u(x)}\), il faut \(u(x)\ge 0\).
Pour \(\ln(u(x))\), il faut \(u(x)>0\).
Pour \(\dfrac{1}{u(x)}\), il faut \(u(x)\neq 0\).

Exemple 2 — Dériver \((3x-5)^7\)

On pose \(u(x)=3x-5\). Alors \(u'(x)=3\).
Donc : \[ \big((3x-5)^7\big)' = 7(3x-5)^6 \cdot 3 = 21(3x-5)^6. \]

Exemple 3 — Dériver \(\sqrt{4x+1}\)

On pose \(u(x)=4x+1\). Alors \(u'(x)=4\).
Ainsi : \[ \big(\sqrt{4x+1}\big)'=\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}. \]

Exemple 4 — Dériver \(\ln(2x^2+3)\)

On pose \(u(x)=2x^2+3\). Alors \(u'(x)=4x\).
Donc : \[ \big(\ln(2x^2+3)\big)'=\frac{4x}{2x^2+3}. \]

5) Primitives par changement de variable (formes attendues)

L’idée est de reconnaître une expression du type : \[ u'(x)\,f(u(x)). \] Dans ce cas, on remonte à une primitive de \(f\), puis on remplace la variable par \(u(x)\).

Formes classiques

Expression	Primitive
\(u'(x)e^{u(x)}\)	\(e^{u(x)}+C\)
\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)	\(\ln\|u(x)\|+C\)
\(u'(x)(u(x))^n\)	\(\dfrac{(u(x))^{n+1}}{n+1}+C\), si \(n\neq -1\)
\(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)	\(\sqrt{u(x)}+C\)

Méthode

Repérer la “grosse expression” \(u(x)\).
Vérifier que sa dérivée \(u'(x)\) est présente, à une constante multiplicative près.
Remonter à la primitive connue.
Ne pas oublier la constante \(C\).

Exemple 5 — Primitive de \(6x\,e^{3x^2}\)

On pose \(u(x)=3x^2\), donc \(u'(x)=6x\).
On reconnaît la forme \(u'(x)e^{u(x)}\).
Une primitive est donc : \[ e^{3x^2}+C. \]

Exemple 6 — Primitive de \(\dfrac{4x}{2x^2+1}\)

On pose \(u(x)=2x^2+1\), alors \(u'(x)=4x\).
On reconnaît la forme \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Une primitive est : \[ \ln(2x^2+1)+C. \]

Exemple 7 — Primitive de \(5(5x-2)^3\)

On pose \(u(x)=5x-2\), donc \(u'(x)=5\).
On reconnaît la forme \(u'(x)(u(x))^3\).
Une primitive est : \[ \frac{(5x-2)^4}{4}+C. \]

6) Méthodes à retenir

1 Pour composer

Je lis de droite à gauche : dans \(f\circ g\), je commence par \(g\).
Je remplace ensuite la variable de \(f\) par \(g(x)\).
Je simplifie seulement à la fin si nécessaire.

2 Pour dériver

Je repère la fonction extérieure.
Je dérive l’extérieure “en gardant l’intérieur”.
Je multiplie par la dérivée de l’intérieur.

3 Pour primitiver

Je cherche une expression intérieure \(u(x)\).
Je vérifie si \(u'(x)\) apparaît devant.
J’utilise une primitive de référence.

4 Contrôle final

Je vérifie les conditions de définition.
Je contrôle les coefficients oubliés.
Je peux redériver ma primitive pour valider.

7) Pièges fréquents

Piège 1 : oublier le facteur \(u'(x)\).
Exemple : \[ \big(e^{5x}\big)' \neq e^{5x} \] mais \[ \big(e^{5x}\big)' = 5e^{5x}. \]

Piège 2 : écrire \[ \int \frac{1}{2x+1}\,dx = \ln(2x+1)+C \] sans correction.
La bonne primitive est : \[ \frac12 \ln|2x+1|+C. \]

Piège 3 : confondre \[ (f\circ g)(x) \quad\text{et}\quad f(x)\circ g(x). \] Une composition n’est pas un produit.

Piège 4 : oublier le domaine pour \(\ln(u(x))\) et \(\sqrt{u(x)}\).

8) Bilan express

\((f\circ g)(x)=f(g(x))\)
\((f\circ u)'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x)\)
\(\displaystyle \int u'(x)e^{u(x)}dx=e^{u(x)}+C\)
\(\displaystyle \int \frac{u'(x)}{u(x)}dx=\ln|u(x)|+C\)
\(\displaystyle \int u'(x)(u(x))^n dx=\frac{(u(x))^{n+1}}{n+1}+C\)