Exercices corrigés — Nombres Relatifs & Calculs (5e)

Méthode : Lire les nombres relatifs avec leur signe, utiliser l’ordre sur la droite graduée et raisonner avec la distance à zéro.

1. \(-6<-3<0<2\).
2. l’opposé de \(-8\) est \(8\).
3. l’opposé de \(5{,}4\) est \(-5{,}4\).
4. \(-7<-5\).
5. \(3{,}2>-1{,}8\).
6. \(-9\) est le plus éloigné de zéro car \(9>6\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Lire les nombres relatifs avec leur signe, utiliser l’ordre sur la droite graduée et raisonner avec la distance à zéro.

1. \(-4<-2{,}5<0<1{,}7<3\).
2. \(3-(-5)=8\).
3. \(-2-(-7)=5\).
4. \(4-(-3)=7\).
5. \(1{,}5-(-2{,}5)=4\).
6. le nombre demandé est \(-4\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Supprimer correctement les parenthèses simples si nécessaire, regrouper les termes positifs et négatifs, puis effectuer le calcul.

1. \(A=12\) : deux nombres positifs.
2. \(B=-12\) : deux nombres négatifs.
3. \(C=12-5=7\).
4. \(D=-(12-5)=-7\).
5. \(E=8-3=5\).
6. \(F=-(9-7)=-2\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Supprimer correctement les parenthèses simples si nécessaire, regrouper les termes positifs et négatifs, puis effectuer le calcul.

1. \(A=6+4=10\).
2. \(B=-5+(-3)=-8\).
3. \(C=-7+2=-5\).
4. \(D=8+(-11)=-3\).
5. \(E=-2{,}5+1{,}5=-1\).
6. \(F=3{,}2+(-5{,}7)=-2{,}5\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=-7+12-5+3=(12+3)-(7+5)=15-12=3\).
2. \(B=9-14+6-2=(9+6)-(14+2)=15-16=-1\).
3. \(C=-8+5-4+10=(5+10)-(8+4)=15-12=3\).
4. \(D=13-7-9+4=(13+4)-(7+9)=17-16=1\).
5. \(E=-11+6+8-5=(6+8)-(11+5)=14-16=-2\).
6. \(F=4-9-3+12=(4+12)-(9+3)=16-12=4\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=-6+4-3=4-(6+3)=4-9=-5\).
2. \(B=8+5-12=13-12=1\).
3. \(C=-9+7+4=(7+4)-9=11-9=2\).
4. \(D=5+3+2=10\).
5. \(E=-4-6+8=8-(4+6)=8-10=-2\).
6. \(F=7+9-5=16-5=11\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Supprimer correctement les parenthèses simples si nécessaire, regrouper les termes positifs et négatifs, puis effectuer le calcul.

1. \(A=(4+9+2)-(7+3+6)=15-16=-1\).
2. \(B=(8+3+6)-(5+7+4)=17-16=1\).
3. \(C=(5+7+1)-(9+2+4)=13-15=-2\).
4. \(D=(6+2+9)-(8+5+1)=17-14=3\).
5. \(E=(10+8)-(4+6+3+2)=18-15=3\).
6. \(F=(11+4+9)-(7+5+6)=24-18=6\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=-7+3+5-2=(3+5)-(7+2)=8-9=-1\).
2. \(B=6-4-3+2=(6+2)-(4+3)=8-7=1\).
3. \(C=-5-4-2+3=3-(5+4+2)=3-11=-8\).
4. \(D=8+2-5=10-5=5\).
5. \(E=-6+9+4-3=(9+4)-(6+3)=13-9=4\).
6. \(F=7-8+2+5=(7+2+5)-8=14-8=6\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=2-7=-5,\quad 5-(-5)-3=5+5-3=7\).
2. \(B=3+4-6=1,\quad 8-1-2=5\).
3. \(C=2-5=-3,\quad -4-(-3)+7=-4+3+7=6\).
4. \(D=-3+2=-1,\quad 6-(-1)-5=6+1-5=2\).
5. \(E=5-8=-3,\quad 3-(-3)+2=3+3+2=8\).
6. \(F=4-7=-3,\quad -2-(-3)+1=-2+3+1=2\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=3-7=-4,\quad 2-(-4)=6,\quad 4-6=-2\).
2. \(B=2-6=-4,\quad 5-(-4)=9,\quad -3+9=6\).
3. \(C=1-5=-4,\quad 4-(-4)=8,\quad 7-8=-1\).
4. \(D=4-6=-2,\quad -3-2=-5,\quad 2-(-5)=7\).
5. \(E=-1-3=-4,\quad 2-(-4)=6,\quad -5-6=-11\).
6. \(F=3-5=-2,\quad -2-(-2)=0,\quad 6+0=6\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Appliquer les mêmes règles de signes qu’avec les entiers, puis calculer les parties décimales avec précision.

1. \(A=(4{,}8)-(2{,}5+1{,}3)=4{,}8-3{,}8=1\).
2. \(B=(3{,}7+2{,}1)-5{,}2=5{,}8-5{,}2=0{,}6\).
3. \(C=(2{,}9+1{,}7)-6{,}4=4{,}6-6{,}4=-1{,}8\).
4. \(D=7{,}2-(3{,}8+2{,}6)=7{,}2-6{,}4=0{,}8\).
5. \(E=5{,}5-(1{,}6+2{,}7)=5{,}5-4{,}3=1{,}2\).
6. \(F=(4{,}5+3{,}1)-6{,}8=7{,}6-6{,}8=0{,}8\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Lire les nombres relatifs avec leur signe, utiliser l’ordre sur la droite graduée et raisonner avec la distance à zéro.

1. \(A=-7+5=-2,\quad -3+2=-1,\quad -2<-1\).
2. \(B=4-9=-5,\quad -2-4=-6,\quad -5>-6\).
3. \(C=-8+3=-5,\quad 2-6=-4,\quad -5<-4\).
4. \(D=7-9=-2,\quad -5+4=-1,\quad -2<-1\).
5. \(E=-3-5=-8,\quad -10+3=-7,\quad -8<-7\).
6. \(F=6+2=8,\quad 10-3=7,\quad 8>7\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Simplifier d’abord l’expression, puis déterminer le nombre qui rend l’égalité vraie et vérifier par substitution.

1. \(A=x-5=3,\quad x=8\).
2. \(B=x+4=2,\quad x=-2\).
3. \(C=x=-8+3=-5\).
4. \(D=-x=3,\quad x=-3\).
5. \(E=x=-2-6=-8\).
6. \(F=-x=4,\quad x=-4\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Simplifier d’abord l’expression, puis déterminer le nombre qui rend l’égalité vraie et vérifier par substitution.

1. \(A=x-4=0,\quad x=4\).
2. \(B=3-x=0,\quad x=3\).
3. \(C=x-2=0,\quad x=2\).
4. \(D=x+3-8=0,\quad x-5=0,\quad x=5\).
5. \(E=5+x=0,\quad x=-5\).
6. \(F=5-x=0,\quad x=5\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Lire les nombres relatifs avec leur signe, utiliser l’ordre sur la droite graduée et raisonner avec la distance à zéro.

1. \(A=3-(-4)=3+4=7\).
2. \(B=-2-(-7)=-2+7=5\).
3. \(C=5-(-3)=5+3=8\).
4. \(D=6-(-6)=12\).
5. \(E=1{,}5-(-2{,}5)=4\).
6. \(F=-1{,}7-(-4{,}2)=2{,}5\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traduire chaque variation par une addition ou une soustraction de nombre relatif, puis calculer dans l’ordre.

1. \(A=-5+8-4=3-4=-1\).
2. \(B=3-7+2=-4+2=-2\).
3. \(C=-2+5-6=3-6=-3\).
4. \(D=7-10+4=-3+4=1\).
5. \(E=-6+9-2=3-2=1\).
6. \(F=-1-4+8=-5+8=3\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traduire chaque variation par une addition ou une soustraction de nombre relatif, puis calculer dans l’ordre.

1. \(A=-8+15-6=15-(8+6)=15-14=1\).
2. \(B=(12+5)-18=17-18=-1\).
3. \(C=(4+9)-10=13-10=3\).
4. \(D=7-(3+8)=7-11=-4\).
5. \(E=12-(5+10)=12-15=-3\).
6. \(F=(9+6)-14=15-14=1\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Supprimer correctement les parenthèses simples si nécessaire, regrouper les termes positifs et négatifs, puis effectuer le calcul.

1. \(A=(5+7+4+3)-(8+2+3+6)=19-19=0\).
2. \(B=(11+3+6)-(7+5+4+2)=20-18=2\).
3. \(C=(4+5+2+7)-(9+6+3)=18-18=0\).
4. \(D=(8+6+4+2)-(3+5+7)=20-15=5\).
5. \(E=(9+3+5)-(6+4+2+1)=17-13=4\).
6. \(F=(10+7+2+4)-(8+3+5)=23-16=7\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=3-5+2=0,\quad 8-0-4=4\).
2. \(B=5-8-2=-5,\quad -3-(-5)+4=-3+5+4=6\).
3. \(C=-2+5-7=-4,\quad 6-4-3=-1\).
4. \(D=2-6+1=-3,\quad -5-(-3)+7=-5+3+7=5\).
5. \(E=7-3-5=-1,\quad 4-(-1)-2=4+1-2=3\).
6. \(F=-4+9-2=3,\quad -6+3-5=-8\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=2-7=-5,\ 3-4=-1,\quad 5-(-5)-(-1)=11\).
2. \(B=6-9=-3,\ 4-7=-3,\quad -2-3-(-3)=-2\).
3. \(C=5-8=-3,\ -2-3=-5,\quad 7-(-3)-5=5\).
4. \(D=1-6=-5,\ 3-5=-2,\quad -4-(-5)-2=-1\).
5. \(E=-3-2=-5,\ 5-9=-4,\quad 6-5-(-4)=5\).
6. \(F=2-7=-5,\ -4+1=-3,\quad -5-5-(-3)=-7\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Supprimer correctement les parenthèses simples si nécessaire, regrouper les termes positifs et négatifs, puis effectuer le calcul.

1. \(A=-7+5=-2\quad\Rightarrow\quad \text{vrai}\).
2. \(B=4-(-3)=7\neq1\quad\Rightarrow\quad \text{faux}\).
3. \(C=-5-4=-9\quad\Rightarrow\quad \text{vrai}\).
4. \(D=-2+7=5,\quad -(2+7)=-9\quad\Rightarrow\quad \text{faux}\).
5. \(E=6-8=-2,\quad 8-6=2\quad\Rightarrow\quad \text{faux}\).
6. \(F=-3+5=2\quad\Rightarrow\quad \text{vrai}\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traduire chaque variation par une addition ou une soustraction de nombre relatif, puis calculer dans l’ordre.

1. \(A=-4+7-2=3-2=1\).
2. \(B=6-9+5=-3+5=2\).
3. \(C=-7+3+8=-4+8=4\).
4. \(D=2-6-3=-4-3=-7\).
5. \(E=-5+10-4=5-4=1\).
6. \(F=8-12+7=-4+7=3\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traduire chaque variation par une addition ou une soustraction de nombre relatif, puis calculer dans l’ordre.

1. \(A=-6+9-4=3-4=-1\).
2. \(B=4-8+3=-4+3=-1\).
3. \(C=-2-5+10=-7+10=3\).
4. \(D=7-12+2=-5+2=-3\).
5. \(E=-5+4+6=-1+6=5\).
6. \(F=3-9+8=-6+8=2\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Traiter d’abord les parenthèses les plus intérieures, gérer soigneusement les doubles signes, puis effectuer les additions et soustractions.

1. \(A=5-9=-4,\ 3-(-4)=7,\quad -7-7+6=-8\).
2. \(B=3-7=-4,\ -2-4=-6,\quad 4-(-6)-5=5\).
3. \(C=2-6=-4,\ 7-(-4)=11,\quad -5+11-4=2\).
4. \(D=-3+1=-2,\ 5-(-2)=7,\quad 8-7+2=3\).
5. \(E=7-9=-2,\ 4-(-2)=6,\quad -3-6+6=-3\).
6. \(F=2-5=-3,\ -4-(-3)=-1,\quad 6-1-7=-2\).

Vérification : Reprendre chaque calcul en contrôlant les signes et, si possible, vérifier mentalement l’ordre de grandeur ou la position sur la droite graduée.

Méthode : Écrire toutes les variations sous forme d’une somme de nombres relatifs.

1. \(-4+6-7+8-3=0\). La température finale est donc \(0\,^{\circ}\mathrm{C}\).
2. Après \(+6\) puis \(-7\) : \(-4+6-7=-5\,^{\circ}\mathrm{C}\).
3. Variation totale : \(+6-7+8-3=+4\,^{\circ}\mathrm{C}\).
4. Vérification : \(-4+4=0\,^{\circ}\mathrm{C}\).

Vérification : Le calcul direct et le calcul par variation totale donnent le même résultat.

Méthode : Regrouper les variations qui s’annulent ou se calculent facilement.

1. \(-8+7-7+9-3=-8+0+6=-2\,^{\circ}\mathrm{C}\).
2. Après \(+7\) puis \(-7\), on revient à \(-8\,^{\circ}\mathrm{C}\).
3. Variation totale : \(+7-7+9-3=+6\,^{\circ}\mathrm{C}\).
4. Contrôle : \(-8+6=-2\,^{\circ}\mathrm{C}\).

Vérification : Les deux méthodes concordent.

Méthode : Réduire chaque parenthèse avant de traiter le signe placé devant.

1. \(A=3-[7+14]=3-21=-18\).
2. \(B=-3+[7-14]=-3-7=-10\).
3. \(C=7-(-17)=7+17=24\).
4. \(D=-14-10=-24\).

Vérification : Contrôler chaque double signe séparément.

Méthode : Séparer le calcul intérieur du traitement du signe extérieur.

1. \(A=7-[15+18]=7-33=-26\).
2. \(B=-7+[15-18]=-7-3=-10\).
3. \(C=15-(-25)=15+25=40\).
4. \(D=-18-22=-40\).

Vérification : Vérifier que soustraire un négatif revient bien à ajouter son opposé.

Méthode : Traduire chaque opération par un nombre relatif puis contrôler par regroupement crédits/débits.

1. Solde final : \(-6+12-7-9+15-6=-1\) €.
2. Expression : \(-6+12-7-9+15-6\).
3. Crédits : \(12+15=27\) €.
4. Débits en valeur absolue, solde initial compris : \(6+7+9+6=28\) €. Donc \(27-28=-1\) €.

Vérification : Le contrôle par crédits et débits confirme le calcul direct.

Méthode : Effectuer le calcul direct puis le contrôler en comparant crédits et débits.

1. Solde final : \(-10+12-7-9+15-6=-5\) €.
2. Expression : \(-10+12-7-9+15-6\).
3. Crédits : \(12+15=27\) €.
4. Débits en valeur absolue, solde initial compris : \(10+7+9+6=32\) €. Donc \(27-32=-5\) €.

Vérification : Le contrôle confirme le solde final de \(-5\) €.