Cours premium — Nombres relatifs & calculs
Repérage sur la droite graduée • comparaison • addition/soustraction • méthodes “signe / valeur absolue” • problèmes.
1) Repérage sur la droite graduée
Un nombre relatif peut être positif (ex : \(+3\)) ou négatif (ex : \(-5\)).
Sur une droite graduée :
plus on va à droite, plus le nombre est grand.
Vocabulaire
- \(0\) est ni positif ni négatif.
- \(+a\) et \(-a\) sont opposés.
- La valeur absolue de \(a\), notée \(|a|\), est la distance à 0.
Exemples rapides
- \(|-7|=7\), \(|+7|=7\).
- L’opposé de \(-4\) est \(+4\).
- Distance entre \(-2\) et \(+5\) : \(|-2-5|=|-7|=7\).
Réflexe : \(|a|\) = “distance à 0” ⇒ toujours positive ou nulle.
2) Comparaison de nombres relatifs
Sur la droite graduée : le nombre le plus à droite est le plus grand.
Donc, en particulier :
- Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif. Ex : \(+1 > -100\).
- Entre deux nombres négatifs, celui qui est le plus proche de 0 est le plus grand. Ex : \(-3 > -8\).
- Entre deux nombres positifs, on compare comme d’habitude. Ex : \(7 > 2\).
Astuce “valeur absolue” (pour négatifs)
Si \(a<0\) et \(b<0\), alors :
\[
a > b \iff |a| < |b|.
\]
Ex : \(-4 > -9\) car \(4<9\).
Piège classique
\(-12\) n’est pas plus grand que \(-3\).
Sur la droite : \(-12\) est plus à gauche ⇒ \(-12 < -3\).
3) Addition & soustraction : règles + sens
Règles essentielles
- Ajouter un nombre, c’est se déplacer sur la droite : \(+a\) vers la droite, \(-a\) vers la gauche.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : \[ a - b = a + (-b). \]
Même signe
On garde le signe et on additionne les valeurs absolues :
\[
(-a)+(-b)=-(a+b)\quad;\quad (+a)+(+b)=+(a+b).
\]
Signes différents
On fait la différence des valeurs absolues et on garde le signe du plus grand en valeur absolue :
\[
a+(-b) = \text{signe de }(|a| \text{ max}) \times (||a|-|b||).
\]
Méthode “signe / valeur absolue” :
1) repérer les signes • 2) comparer \(|a|\) et \(|b|\) • 3) calculer somme ou différence • 4) mettre le signe final.
4) Exemples guidés (rédaction claire)
Exemple 1 — Addition de deux nombres de même signe
Calculer : \((-7)+(-5)\).
Les deux nombres sont négatifs. On additionne les valeurs absolues : \(7+5=12\), puis on garde le signe “\(-\)”.
\[
(-7)+(-5)=-(7+5)=-12.
\]
Réponse : \(\boxed{-12}\)
Exemple 2 — Addition de signes différents
Calculer : \((-9)+(+4)\).
Signes différents ⇒ on fait la différence des valeurs absolues :
\(9-4=5\).
Le plus grand en valeur absolue est \(9\), associé au signe “\(-\)”.
\[
(-9)+(+4)=-5.
\]
Réponse : \(\boxed{-5}\)
Exemple 3 — Soustraction (transformer en addition)
Calculer : \(3-(-8)\).
Soustraire \(-8\) revient à ajouter son opposé \(+8\) :
\[
3-(-8)=3+(+8)=11.
\]
Réponse : \(\boxed{11}\)
5) Problèmes : donner du sens
Situation — Température
À 6h, il fait \(-2^\circ\text{C}\). À midi, la température a augmenté de \(7^\circ\text{C}\).
Quelle est la température à midi ?
Augmenter de \(7\) ⇒ on ajoute \(+7\) :
\[
-2 + 7 = 5.
\]
Réponse : \(\boxed{5^\circ\text{C}}\)
Auto-contrôle :
“Augmenter” ⇒ ajouter • “Diminuer” ⇒ ajouter un nombre négatif • Soustraire ⇒ ajouter l’opposé.