Fiche ultra-synthèse — Repérage dans l’espace & représentations
L’essentiel en une page : coordonnées \((x; y; z)\), axes, lecture/placement, perspective cavalière
(traits cachés), patrons (déplier/replier).
1) Coordonnées \((x; y; z)\) — mémo
Écriture
Un point \(M\) dans l’espace :
\[
M(x; y; z)
\]
\(x\), \(y\), \(z\) sont les coordonnées.
Origine et axes
Origine : \(\;O(0; 0; 0)\)
Axes : \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) (3 directions).
Piège n°1 : l’ordre
L’ordre est toujours \((x; y; z)\).
\[
(2; 5; 1)\neq(5; 2; 1)
\]
(ce n’est pas le même point).
2) Méthodes express : placer et lire un point
Placer \(M(x; y; z)\)
- Depuis \(O\), avancer de \(x\) sur \(Ox\).
- Se déplacer de \(y\) sur \(Oy\).
- Monter/descendre de \(z\) sur \(Oz\).
Phrase type
« Depuis \(O\), je fais \(x\) sur \(Ox\), puis \(y\) sur \(Oy\), puis \(z\) sur \(Oz\). »
Lire les coordonnées d’un point
- Projeter le point sur les axes (ou sur les arêtes d’un pavé).
- Lire d’abord \(x\), puis \(y\), puis \(z\).
Piège n°2
Inverser \(y\) et \(z\) : c’est très fréquent si on ne suit pas l’ordre.
3) Vocabulaire des solides (rappel)
Sommet
Point où se rencontrent plusieurs arêtes.
Arête
Segment commun à deux faces.
Face
Surface plane (rectangle, triangle, …).
Repérage sur un pavé
On choisit un sommet origine \(O\) et trois arêtes perpendiculaires comme axes :
on lit alors les « pas » dans les 3 directions → \((x; y; z)\).
4) Perspective cavalière — règles + traits cachés
Règles indispensables
- Face avant : vraie grandeur (on ne réduit pas).
- Arêtes fuyantes : même direction (souvent \(45^\circ\)).
- On peut appliquer un coefficient \(k\) (souvent \(k=\frac12\)) pour les arêtes fuyantes.
- Les arêtes parallèles restent parallèles.
Traits cachés (pointillés)
Une arête est cachée si elle est derrière le solide du point de vue choisi.
👉 On la trace en pointillés.
Piège n°3
Ne pas mettre de pointillés (ou en mettre trop) : on ne met en pointillés
que ce qui est vraiment caché.
Mini-checklist (perspective)
- ✅ Face avant en vraie grandeur
- ✅ Arêtes fuyantes parallèles entre elles
- ✅ Coefficient de réduction appliqué seulement aux fuyantes
- ✅ Arêtes cachées en pointillés
5) Patrons — mémo + pièges
Définition
Un patron est une figure plane obtenue en « dépliant » les faces d’un solide.
En repliant, on retrouve le solide.
Méthode rapide
- Compter les faces (ex : cube = 6).
- Respecter les dimensions des faces qui se touchent (arêtes communes).
- Vérifier que ça se ferme au pliage sans chevauchement.
Patron d’un pavé droit
- 6 rectangles (ou 6 carrés pour un cube).
- Les faces adjacentes partagent une arête : mêmes longueurs sur l’arête commune.
Patron d’une pyramide
- 1 base (polygone) + triangles latéraux.
- Chaque triangle partage un côté avec la base.
- Les triangles doivent pouvoir se rejoindre au sommet.
Pièges patrons
Oublier une face • dimensions incohérentes sur une arête commune • patron qui se chevauche au pliage •
triangles latéraux d’une pyramide incompatibles (mauvaises longueurs).
6) Ultra-résumé (10 secondes)
✅ Point dans l’espace : \(\;M(x; y; z)\) (ordre obligatoire).
✅ Placer : \(x\) puis \(y\) puis \(z\). Lire : \(x\) puis \(y\) puis \(z\).
✅ Perspective cavalière : face avant vraie grandeur, fuyantes parallèles (souvent \(45^\circ\)), cachées en pointillés.
✅ Patron : déplier les faces, respecter les arêtes communes, vérifier que ça se replie sans chevauchement.