Reperage Espace

Cours premium — Repérage dans l’espace et représentations

Coordonnées \((x; y; z)\) • repérage sur un pavé droit • lecture/placement de points • perspective cavalière (traits visibles/cachés) • patrons (déplier un solide).

Repérage Espace Perspective Patrons

1) Repérage dans l’espace : coordonnées \((x; y; z)\)

Le repère de l’espace (idée)

Dans l’espace, un point est repéré par trois nombres : \[ M(x; y; z) \] On peut les lire comme : \(x\) = déplacement selon un axe, \(y\) selon un deuxième, \(z\) selon le troisième.

⚠️ L’ordre compte : \((2; 5; 1)\neq(5; 2; 1)\).

Vocabulaire

Origine : point \(O(0; 0; 0)\).
Axe \(Ox\), axe \(Oy\), axe \(Oz\) (trois directions).
Coordonnées : les nombres \(x\), \(y\), \(z\).

Astuce lecture

Pour placer \(M(x; y; z)\) :

partir de \(O\)
avancer de \(x\) selon \(Ox\)
puis de \(y\) selon \(Oy\)
puis monter/descendre de \(z\) selon \(Oz\)

Figure — repère \((x; y; z)\) (schéma)

Schéma en perspective (non à l’échelle) : axes \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) et un point \(M(x; y; z)\).

Lecture

On peut imaginer : d’abord aller au point \((x; 0; 0)\), puis \((x; y; 0)\), puis monter jusqu’à \((x; y; z)\).

2) Repérage sur un pavé droit

Idée

Sur un pavé droit (une « boîte »), on fixe souvent : un sommet origine \(O\), puis trois arêtes perpendiculaires comme axes. Chaque point est alors repéré par ses « pas » dans les 3 directions.

Placer un point

Pour placer \(M(x; y; z)\) sur/près du pavé :

on part de \(O\)
on avance de \(x\) sur une arête
on se décale de \(y\) sur une autre direction
on monte de \(z\)

Lire un point

Pour lire les coordonnées d’un point donné :

on projette « à l’aplomb » sur les axes
on lit successivement \(x\), puis \(y\), puis \(z\)

Piège

Ne pas inverser l’ordre : \((x; y; z)\) (toujours dans le même ordre).

3) Perspective cavalière

But

Représenter un solide 3D sur une feuille 2D en gardant : les faces de devant en vraie grandeur et une direction de fuite (souvent à \(45^\circ\)).

Règles pratiques (4e)

On trace d’abord la face « de devant » (rectangle/carré) en vrai grandeur.
Les arêtes « qui partent vers l’arrière » sont obliques (souvent à \(45^\circ\)).
On peut réduire ces arêtes (souvent moitié de la vraie longueur) : coefficient \(k\) (ex : \(k=\frac12\)).
Les arêtes cachées se tracent en pointillés.

Pièges

Oublier les pointillés pour les arêtes cachées.
Réduire une longueur « de devant » (interdit : elle doit rester en vraie grandeur).
Tracer une arête arrière avec une mauvaise direction (il faut rester parallèle).

Figure — pavé droit en perspective cavalière

Face avant en vraie grandeur • arêtes fuyantes à \(45^\circ\) (réduction) • arêtes cachées en pointillés.

Méthode (en 4 étapes)

1) Tracer la face avant en vraie grandeur • 2) tracer les arêtes fuyantes (même direction, éventuellement réduites) • 3) tracer la face arrière • 4) mettre les arêtes cachées en pointillés.

4) Patrons (déplier un solide)

Définition

Un patron est une figure plane obtenue en « dépliant » les faces d’un solide. En repliant, on retrouve le solide.

Patron d’un pavé droit

6 rectangles (ou carrés pour un cube).
Les faces « partagent » des arêtes : il faut respecter les dimensions.
On vérifie que les faces se referment sans chevauchement.

Patron d’un prisme / pyramide

Prisme : 2 bases + des rectangles latéraux.
Pyramide : 1 base + des triangles latéraux.
Les triangles doivent avoir les bonnes arêtes pour se rejoindre.

Pièges patrons

Confondre les dimensions des faces • oublier une face • tracer des faces qui ne partagent pas la bonne arête • patron qui « s’auto-chevauche » au pliage.

5) Exemples guidés

Exemple 1 — Lire des coordonnées

On te donne \(A(2; 0; 1)\), \(B(2; 3; 1)\), \(C(2; 3; 0)\).
1) Quel(s) point(s) ont la même valeur de \(x\) ? 2) Quel(s) point(s) sont « à la même hauteur » (même \(z\)) ?

Correction guidée

1) Les trois points ont \(x=2\) : ils sont dans le même « plan parallèle à \(OyOz\) ». 2) \(A\) et \(B\) ont \(z=1\) : ils sont à la même hauteur.

Exemple 2 — Placer un point \((x; y; z)\)

Placer \(M(4; 2; 3)\) : expliquer en une phrase le chemin depuis \(O\).

Correction

Depuis \(O\), on avance de 4 selon \(Ox\), puis de 2 selon \(Oy\), puis on monte de 3 selon \(Oz\).

Exemple 3 — Perspective cavalière : repérer les arêtes cachées

On dessine un cube en perspective cavalière. Quelles arêtes doivent être en pointillés ?

Correction

Celles qui sont derrière le cube (non visibles depuis l’observateur). En pratique : l’arête du bas « arrière » et une arête verticale « arrière » (selon le dessin).

Exemple 4 — Patrons : vérifier si un patron est possible

On propose 6 carrés pour faire un cube. Donner une condition simple pour que ce soit un patron correct.

Correction

Les carrés doivent être assemblés par des côtés (arêtes communes) et, au pliage, ils doivent se refermer sans chevauchement : chaque face du cube doit apparaître une seule fois.