Exercices premium — Repérage dans l’espace et représentations
Coordonnées \((x; y; z)\) • lecture/placement • repérage sur un pavé • perspective cavalière (visibles/cachées)
• patrons de solides. Exercices progressifs avec corrigés afficher/masquer.
Exercice 1 — Lire et comparer des coordonnées
On considère les points :
\[
A(2; 1; 0),\quad B(2; 4; 0),\quad C(5; 1; 0),\quad D(2; 1; 3).
\]
1) Quels points ont la même valeur de \(x\) ?
2) Quels points sont dans le plan \(z=0\) ?
3) Quels points ont exactement deux coordonnées identiques à celles de \(A\) ?
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1) Même \(x=2\) : \(A\), \(B\), \(D\).
2) Dans \(z=0\) : \(A\), \(B\), \(C\).
3) Comparaison à \(A(2; 1; 0)\) :
- \(B(2; 4; 0)\) : \(x\) et \(z\) identiques → 2 coordonnées identiques.
- \(C(5; 1; 0)\) : \(y\) et \(z\) identiques → 2 coordonnées identiques.
- \(D(2; 1; 3)\) : \(x\) et \(y\) identiques → 2 coordonnées identiques.
Piège
Toujours lire dans l’ordre \((x; y; z)\).
Exercice 2 — Placer un point : décrire le chemin
Décrire en une phrase le déplacement depuis \(O(0; 0; 0)\) pour placer :
\[
M(4; 2; 3)\quad \text{et}\quad N(1; 5; 0).
\]
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Pour \(M(4; 2; 3)\) : on avance de 4 selon \(Ox\), puis de 2 selon \(Oy\), puis on monte de 3 selon \(Oz\).
Pour \(N(1; 5; 0)\) : on avance de 1 selon \(Ox\), puis de 5 selon \(Oy\), puis on ne monte pas (car \(z=0\)).
Exercice 3 — Piège : ordre des coordonnées
On a un point \(P(2; 5; 1)\).
Un élève écrit « \(P\) a pour coordonnées \((2; 1; 5)\) car il a vu 2 sur l’axe \(x\), puis 1 sur l’axe \(y\), puis 5 sur l’axe \(z\) ».
1) Expliquer pourquoi c’est faux. 2) Donner une règle simple pour éviter l’erreur.
1) Expliquer pourquoi c’est faux. 2) Donner une règle simple pour éviter l’erreur.
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1) Faux car \((2; 1; 5)\) correspond à un autre point : on a échangé \(y\) et \(z\).
2) Règle : toujours écrire et lire dans l’ordre fixe \((x; y; z)\) et vérifier chaque axe avant d’écrire.
Exercice 4 — Repérage sur un pavé droit (sommets)
On repère un pavé droit avec :
\[
O(0; 0; 0),\quad A(6; 0; 0),\quad B(0; 4; 0),\quad C(0; 0; 3).
\]
(Donc la longueur selon \(x\) vaut 6, selon \(y\) vaut 4, selon \(z\) vaut 3.)
Donner les coordonnées des sommets : \[ D,\ E,\ F,\ G \] tels que le pavé ait 8 sommets : \(O, A, B, C, D, E, F, G\). (On suppose que \(D\) est le sommet du bas obtenu en allant de \(O\) vers \(A\) puis vers \(B\).)
Donner les coordonnées des sommets : \[ D,\ E,\ F,\ G \] tels que le pavé ait 8 sommets : \(O, A, B, C, D, E, F, G\). (On suppose que \(D\) est le sommet du bas obtenu en allant de \(O\) vers \(A\) puis vers \(B\).)
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Bas (z = 0) :
\[
O(0; 0; 0),\ A(6; 0; 0),\ B(0; 4; 0),\ D(6; 4; 0)
\]
Haut (z = 3) : on ajoute 3 à \(z\)
\[
C(0; 0; 3),\ E(6; 0; 3),\ F(0; 4; 3),\ G(6; 4; 3)
\]
Astuce
Même « colonne » = mêmes \(x\) et \(y\), seule la coordonnée \(z\) change.
Exercice 5 — Même hauteur, même plan
On considère :
\[
U(1; 2; 4),\quad V(6; 0; 4),\quad W(3; 5; 4),\quad T(3; 5; 0).
\]
1) Quels points sont à la même hauteur ?
2) Quels points appartiennent au plan \(z=4\) ?
3) Donner une phrase pour décrire la différence entre \(W\) et \(T\).
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1) \(U\), \(V\), \(W\) ont \(z=4\) : même hauteur.
2) Plan \(z=4\) : \(U\), \(V\), \(W\).
3) \(W(3; 5; 4)\) et \(T(3; 5; 0)\) ont les mêmes \(x\) et \(y\), mais \(W\) est 4 unités au-dessus de \(T\) (coordonnée \(z\)).
Exercice 6 — Perspective cavalière : visibles / cachées
On dessine un pavé droit en perspective cavalière.
On voit la face avant entièrement.
1) Citer au moins deux arêtes qui sont souvent cachées (donc en pointillés). 2) Expliquer pourquoi on ne met pas toutes les arêtes arrière en pointillés (certaines peuvent être visibles).
1) Citer au moins deux arêtes qui sont souvent cachées (donc en pointillés). 2) Expliquer pourquoi on ne met pas toutes les arêtes arrière en pointillés (certaines peuvent être visibles).
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1) Souvent cachées : l’arête du bas à l’arrière, et l’arête « arrière-gauche » (selon l’orientation du dessin).
2) Certaines arêtes arrière peuvent être visibles si elles ne sont pas « derrière » une face : tout dépend du point de vue.
On met en pointillés uniquement ce qui est vraiment masqué.
Piège
Les pointillés ne sont pas automatiques : ils dépendent de ce qui est caché par le solide.
Exercice 7 — Perspective cavalière : réduction des fuyantes
On représente un cube de côté \(6\,cm\) en perspective cavalière avec un coefficient \(k=\frac12\)
pour les arêtes fuyantes (celles qui partent « vers l’arrière »).
1) Quelle longueur doit-on tracer pour une arête fuyante ? 2) Quelle longueur doit-on tracer pour une arête de la face avant ?
1) Quelle longueur doit-on tracer pour une arête fuyante ? 2) Quelle longueur doit-on tracer pour une arête de la face avant ?
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1) Arête fuyante : \(k\times 6 = \frac12\times 6 = 3\,cm\).
2) Face avant : vraie grandeur, donc \(6\,cm\).
Exercice 8 — Patrons : cube (valider / refuser)
On te propose un patron fait de 6 carrés identiques.
Donne deux conditions indispensables pour que ce patron puisse former un cube.
(Tu n’as pas besoin de dessin : explique avec des mots.)
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Deux conditions :
- Les carrés doivent être reliés par des côtés (arêtes communes), pas seulement par un sommet.
- Au pliage, les faces doivent se fermer sans chevauchement et chaque face du cube apparaît une seule fois.
Exercice 9 — Patron d’un pavé : cohérence des dimensions
Un pavé droit a pour dimensions \(8\,cm\), \(5\,cm\), \(3\,cm\).
1) Quelles sont les 3 dimensions possibles d’une face ? 2) Combien de faces de chaque type doit-on avoir ?
1) Quelles sont les 3 dimensions possibles d’une face ? 2) Combien de faces de chaque type doit-on avoir ?
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1) Faces rectangles possibles :
\[
8\times 5,\quad 8\times 3,\quad 5\times 3
\]
2) Il y a 6 faces : chaque type apparaît 2 fois (faces opposées) :
deux \(8\times 5\), deux \(8\times 3\), deux \(5\times 3\).
Vérification
Dans un patron, on doit retrouver exactement ces 6 rectangles.
Exercice 10 — Problème mixte : repérage + patron (raisonnement)
On a un pavé repéré par :
\[
O(0; 0; 0),\ A(6; 0; 0),\ B(0; 4; 0),\ C(0; 0; 3).
\]
1) Donner les coordonnées de \(G\), sommet opposé à \(O\).
2) Sur un patron, les faces qui contiennent l’arête \([OA]\) sont voisines (elles partagent \([OA]\)).
Combien de faces contiennent l’arête \([OA]\) ? Lesquelles (en les décrivant par leurs dimensions) ?
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1) \(G(6; 4; 3)\) (on prend \(x=6\), \(y=4\), \(z=3\)).
2) Une arête d’un pavé appartient toujours à 2 faces.
L’arête \([OA]\) est de longueur 6, elle est commune :
- à une face \(6\times 4\) (face du bas),
- et à une face \(6\times 3\) (face « avant » ou « côté » selon la position).
Idée
Sur le solide, une arête = intersection de 2 faces → sur le patron, ces 2 faces sont collées sur cette arête.