Exercices corrigés — Notion De Fonctions Et Représentation Graphique (3e)

(1) Première ligne des deux tableaux.
Dans le premier tableau, \(f(2)=5\) signifie que 2 est l’antécédent et 5 est l’image. On complète donc : « L’image de 2 par la fonction \(f\) est 5 ». Dans le second tableau, \(f(-1)=4\) donne : « L’image de \(-1\) par \(f\) est 4 ».

(2) Deuxième ligne.
« L’image de 4 est \(-3\) » donne \(f(4)=-3\) et \(f:4\mapsto-3\). De même, « l’image de 3 est 0 » donne \(f(3)=0\) et \(f:3\mapsto0\).

(3) Troisième ligne.
« 6 est l’image de \(-2\) » donne \(f(-2)=6\) et \(f:-2\mapsto6\). Dans le second tableau, \(f(5)=-2\) signifie que \(-2\) a pour antécédent 5 ; l’écriture fléchée est \(f:5\mapsto-2\).

(4) Quatrième ligne.
\(f:7\mapsto-1\) signifie \(f(7)=-1\) : 7 a pour image \(-1\). Enfin \(f:-4\mapsto1\) signifie \(f(-4)=1\) : \(-4\) est un antécédent de 1.

L’égalité \(f(-5)=7\) donne toujours la même information : \(-5\) est l’antécédent et 7 est l’image.

(1) Avec « image » et « avoir » : \(-5\) a pour image 7 par la fonction \(f\).

(2) Avec « antécédent » et « avoir » : 7 a pour antécédent \(-5\) par \(f\).

(3) Avec « image » et « être » : 7 est l’image de \(-5\) par \(f\).

(4) Avec « antécédent » et « être » : \(-5\) est un antécédent de 7 par \(f\).

(1) « 9 est un antécédent de 4 par \(g\) » se traduit par \(\boxed{g(9)=4}\).

(2) « L’image de \(-6\) par \(f\) est 11 » donne \(\boxed{f(-6)=11}\).

(3) « \(-2{,}5\) est l’image de 3 par \(g\) » donne \(\boxed{g(3)=-2{,}5}\).

(4) « Un antécédent de \(-8\) par \(f\) est 5 » signifie que l’image de 5 est \(-8\) : \(\boxed{f(5)=-8}\).

a. \(g(-2)=1\) : 1 est l’image de \(-2\).

b. \(g(2)=3\) : 2 est un antécédent de 3.

c. \(g(1)=-4\) : \(-4\) est l’image de 1.

d. \(g(-1)=2\) : 2 est l’image de \(-1\).

e. \(g(0)=-1\) : 0 est un antécédent de \(-1\).

f. Par définition, pour un antécédent donné, une fonction associe une seule image : le nombre 1 a donc exactement une image, ici \(g(1)=-4\).

(1) La flèche issue de \(-1\) arrive sur 5. Donc \(\boxed{g(-1)=5}\).

(2) Pour obtenir \(-2\), on remonte la flèche qui arrive en \(-2\) : elle part de 0. Donc \(\boxed{0}\) est un antécédent de \(-2\).

(3) La flèche issue de 2 arrive sur 1. Donc \(\boxed{g(2)=1}\).

(4) Les quatre flèches donnent : \(\boxed{g(-3)=2}\), \(\boxed{g(-1)=5}\), \(\boxed{g(0)=-2}\) et \(\boxed{g(2)=1}\).

a. À \(x=-2{,}5\) correspond \(h(x)=-2\). Donc \(\boxed{h(-2{,}5)=-2}\).

b. L’image \(-1{,}8\) est sous \(-1{,}5\), donc \(\boxed{h(-1{,}5)=-1{,}8}\).

c. Dernière colonne : \(\boxed{h(0)=2}\).

d. \(-1{,}5\) apparaît deux fois sur la ligne des images : \(\boxed{h(-3)=h(-1)=-1{,}5}\). On peut compléter avec \(-3\) ou \(-1\).

e. \(\boxed{h(-0{,}5)=0{,}25}\).

f. \(1{,}4\) correspond à \(x=-2\) : \(\boxed{h(-2)=1{,}4}\).

Étape 1. On écrit \(k(2)=5{,}5\), \(k(-10)=-6\), \(k(-6)=2\), \(k(5{,}5)=-4\), \(k(-4)=5{,}5\) et \(k(125)=5{,}5\).

Étape 2. On remplit par colonnes :

Un même nombre peut être l’image de plusieurs antécédents, ce qui ne contredit pas la définition d’une fonction.

(1) \(p(-2)=2\times(-2)^2-3=2\times4-3=\boxed{5}\).
\(p(-1)=2\times1-3=\boxed{-1}\).

(2) \(p(0)=2\times0^2-3=\boxed{-3}\).
\(p(1)=2\times1^2-3=\boxed{-1}\).

(3) \(p(3)=2\times9-3=\boxed{15}\). La ligne du tableau est donc : \(5,-1,-3,-1,15\).

(4) On remarque que \(\boxed{p(-1)=p(1)=-1}\). Cela vient du fait que \((-1)^2=1^2\) : la fonction dépend de \(x^2\).

a. \(f(8)=-3\times8+7=-24+7=\boxed{-17}\).

b. \(f(0)=-3\times0+7=\boxed{7}\).

c. On résout \(-3x+7=2\), donc \(-3x=-5\) puis \(\boxed{x=\frac53}\). Vérification : \(-3\times\frac53+7=2\).

d. On résout \(-3x+7=10\), d’où \(-3x=3\) puis \(\boxed{x=-1}\). Vérification : \(f(-1)=3+7=10\).

(1) Chercher l’antécédent de 7 revient à résoudre \(3x-5=7\). Ainsi \(3x=12\), donc \(\boxed{x=4}\).

(2) \(3x-5=-5\Rightarrow3x=0\Rightarrow\boxed{x=0}\).

(3) \(3x-5=16\Rightarrow3x=21\Rightarrow\boxed{x=7}\).

(4) Vérification. \(h(4)=12-5=7\), \(h(0)=-5\), et \(h(7)=21-5=16\). Les trois résultats sont donc confirmés.

(1) Avec 2 : \(3\times2=6\), puis \(6+4=10\), puis \(10\times2=20\). Donc \(\boxed{f(2)=20}\).

(2) Avec 0 : \(3\times0+4=4\), puis \(4\times0=0\). Donc \(\boxed{f(0)=0}\).

(3) Avec \(-3\) : \(3\times(-3)+4=-5\), puis \((-5)\times(-3)=15\). Donc \(\boxed{f(-3)=15}\).

(4) Avec un nombre quelconque \(x\), le résultat intermédiaire est \(3x+4\), puis on multiplie par le nombre de départ : \[\boxed{f(x)=x(3x+4)=3x^2+4x}.\]

a. \(k(0)=6\times0^2-7\times0-3=\boxed{-3}\).

b. \(k(-1)=6\times(-1)^2-7\times(-1)-3=6+7-3=\boxed{10}\).

c. \(k\left(\frac32\right)=6\times\frac94-7\times\frac32-3=\frac{54}{4}-\frac{21}{2}-3=\frac{27}{2}-\frac{21}{2}-\frac62=\boxed{0}\).

a. \(g(0)=(-1)^2-4=1-4=\boxed{-3}\).

b. \(g(1)=0^2-4=\boxed{-4}\).

c. \(g(-1)=(-2)^2-4=4-4=\boxed{0}\).

d. \(g\left(\frac25\right)=\left(-\frac35\right)^2-4=\frac9{25}-\frac{100}{25}=\boxed{-\frac{91}{25}}\).

e. \(g\left(-\frac14\right)=\left(-\frac54\right)^2-4=\frac{25}{16}-\frac{64}{16}=\boxed{-\frac{39}{16}}\).

f. \(g(x)=0\iff(x-1)^2=4\iff x-1=2\) ou \(x-1=-2\), soit \(\boxed{x=3}\) ou \(\boxed{x=-1}\). Ces deux nombres sont distincts et conviennent : \(g(3)=g(-1)=0\).

(1) Le programme A « diviser par 4 puis soustraire 2 » donne \(\dfrac{x}{4}-2\). Il correspond donc à \(\boxed{f}\).

(2) Le programme E « multiplier par 4 puis soustraire 2 » donne \(4x-2\). Il correspond à \(\boxed{g}\).

(3) Le programme C « mettre au carré puis ajouter 3 » donne \(x^2+3\). Il correspond à \(\boxed{h}\).

(4) Le programme D « ajouter 3 puis mettre le résultat au carré » donne \((x+3)^2\). Il correspond à \(\boxed{t}\). Le programme B donnerait \(4(x-2)=4x-8\) : il ne correspond à aucune fonction de la liste et est donc le programme en trop.

(1) Sur la droite, on lit \(\boxed{r(-1)=0}\) et \(\boxed{r(3)=4}\).

(2) Le nombre qui a pour image 1 vérifie \(r(x)=1\). L’horizontale \(y=1\) coupe la droite pour \(\boxed{x=0}\).

(3) \(r(x)=0\) correspond à l’intersection avec l’axe des abscisses : \(\boxed{x=-1}\).

(4) Lorsque \(x\) augmente, la droite monte de gauche à droite. La fonction \(r\) est donc croissante sur l’intervalle représenté.

(1) À l’abscisse 3, la courbe coupe l’axe des abscisses. L’ordonnée est donc 0 : \(\boxed{h(3)=0}\).

(2) L’horizontale \(y=2\) rencontre la courbe aux abscisses \(-2\), 0, 2 et 8. Ainsi \(\boxed{x=-2,0,2,8}\).

(3) « Avoir pour image 3 » signifie résoudre \(h(x)=3\). Parmi les points marqués, on lit deux intersections : \(\boxed{x=1}\) et \(\boxed{x=9}\).

(4) « Quel nombre a pour antécédent 5 ? » demande l’image du nombre 5. À \(x=5\), on lit \(y=-3\). Donc \(\boxed{h(5)=-3}\).

1. Le point marqué \((8;2)\) donne \(\boxed{h(8)=2}\).

2. Le point \((-1;1)\) donne \(\boxed{h(-1)=1}\).

3. La courbe coupe l’axe des abscisses en \((3;0)\) et \((7;0)\), donc \(\boxed{x=3\text{ ou }x=7}\).

4. Le point \((-3;4)\) donne \(\boxed{h(-3)=4}\).

5. Les intersections avec l’horizontale \(y=-2\) sont en \(x=4\) et \(x=6\). Donc \(\boxed{4\text{ et }6}\).

6. Les points marqués d’ordonnée 2 correspondent à \(\boxed{-2,0,2,8}\).

(1) Les zéros se lisent aux intersections avec l’axe des abscisses : \(\boxed{x=0}\) et \(\boxed{x=4}\).

(2) L’horizontale \(y=-3\) coupe la parabole en deux points d’abscisses \(\boxed{1}\) et \(\boxed{3}\).

(3) Le sommet est le point le plus bas de la parabole : il a pour coordonnées \((2;-4)\). Le minimum est donc \(\boxed{-4}\), atteint pour \(\boxed{x=2}\).

(4) À \(x=5\), la courbe passe par l’ordonnée 5 : \(\boxed{q(5)=5}\).

(1) L’horizontale \(y=3\) rencontre la courbe aux deux points marqués d’abscisses 1 et 2. Donc \(\boxed{x=1\text{ ou }x=2}\).

(2) Parmi les points marqués, l’ordonnée \(-2\) correspond à \(x=-2\). Donc \(\boxed{x=-2}\).

(3) L’intersection avec l’axe des abscisses qui est marquée exactement est \((-3;0)\). Donc \(\boxed{x=-3}\).

(4) Méthode générale : tracer mentalement ou réellement l’horizontale \(y=k\), repérer toutes ses intersections avec \(C_f\), puis lire leurs abscisses. Ces abscisses sont exactement les solutions de \(f(x)=k\).

(1) À \(x=0\), les deux représentations passent par l’ordonnée 2. Donc \(\boxed{f(0)=2}\) et \(\boxed{g(0)=2}\).

(2) On lit les abscisses des quatre intersections entre la courbe et la droite : \(\boxed{-3,0,3,6}\). Ce sont les solutions de \(f(x)=g(x)\).

(3) La courbe bleue est au-dessus de la droite verte entre 0 et 3, puis après 6 jusqu’à l’extrémité du domaine en 9. L’inégalité stricte donne donc \(\boxed{x\in]0;3[\cup]6;9]}\).

(4) L’horizontale \(y=-2\) coupe la droite verte pour \(x=6\). Ainsi \(\boxed{g(6)=-2}\) et la solution est \(\boxed{x=6}\).

(1) On cherche les intersections de la courbe de \(f\) avec l’horizontale \(y=-2\). On lit \(\boxed{x=-2,0,2,8}\).

(2) Sur la droite \(g\), l’ordonnée 2 est atteinte à l’abscisse 0. Donc \(\boxed{x=0}\).

(3) Les zéros de \(f\) sont les abscisses où la courbe coupe l’axe des abscisses : \(\boxed{x=-3,3,7}\).

(4) Sur \([-3;3]\), la courbe de \(f\) reste en dessous de la droite de \(g\), puis les deux se rejoignent en \(x=3\). Ainsi \(\boxed{f(x)\le g(x)}\) sur \([-3;3]\). Sur \([3;9]\), la courbe de \(f\) est au-dessus de la droite, avec égalité seulement en \(x=3\) : \(\boxed{f(x)\ge g(x)}\) sur \([3;9]\).

(1) On calcule \(f(x)=x^2-1\) : \[f(-3)=8,\ f(-2)=3,\ f(-1)=0,\ f(0)=-1,\ f(1)=0,\ f(2)=3,\ f(3)=8.\] La deuxième ligne du tableau est donc \(\boxed{8,3,0,-1,0,3,8}\).

(2) « Quel nombre a pour antécédent 3 ? » demande l’image de 3 : \(\boxed{f(3)=8}\). Ensuite, l’image de \(-2\) est \(\boxed{f(-2)=3}\).

(3) Pour avoir l’image 3 : \(x^2-1=3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow\boxed{x=-2\text{ ou }x=2}\). Pour \(f(x)=0\) : \(x^2-1=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow\boxed{x=-1\text{ ou }x=1}\).

(4) On place les sept points du tableau. Les intersections avec l’axe des abscisses sont \(\boxed{(-1;0)}\) et \(\boxed{(1;0)}\). Pour l’axe des ordonnées, \(x=0\), donc le point est \(\boxed{(0;-1)}\).

1. \(f(-1)=5\), \(f(0)=3\), \(f(1)=1\), \(f(2)=-1\), \(f(3)=-3\).

2. On place \((-1;5)\), \((0;3)\), \((1;1)\), \((2;-1)\), \((3;-3)\). Ces points appartiennent à la droite \(y=-2x+3\) ; deux points distincts suffisent pour la tracer.

3. L’ordonnée du point de la droite d’abscisse 1 est 1 ; ainsi \(\boxed{f(1)=1}\).

4. \(-2x+3=-3\iff-2x=-6\iff\boxed{x=3}\). Sur la figure, le point \((3;-3)\) confirme cette lecture.

(1) La prise en charge de 6 € est fixe, et les \(3{,}5\) € sont multipliés par la durée \(t\). Donc \(\boxed{C(t)=6+3{,}5t}\).

(2) \(C(4)=6+3{,}5\times4=6+14=\boxed{20\text{ €}}\).

(3) On résout \(6+3{,}5t=34\). Alors \(3{,}5t=28\), donc \(\boxed{t=8\text{ h}}\).

(4) Le point \(A(4;20)\) signifie qu’une durée de 4 heures a pour image un coût de 20 € : \(\boxed{C(4)=20}\).

(1) \(F(0)=1{,}8\times0+32=\boxed{32\,^{\circ}\mathrm{F}}\).

(2) \(F(20)=1{,}8\times20+32=36+32=\boxed{68\,^{\circ}\mathrm{F}}\).

(3) On résout \(1{,}8C+32=50\). Donc \(1{,}8C=18\), puis \(\boxed{C=10\,^{\circ}\mathrm{C}}\).

(4) \(F(30)=86\) signifie que \(\boxed{30\,^{\circ}\mathrm{C}\text{ correspondent à }86\,^{\circ}\mathrm{F}}\).

(1) Aire = longueur × largeur : \[\boxed{A(x)=x(x+2)=x^2+2x}.\]

(2) \(A(3)=3(3+2)=3\times5=\boxed{15}\).

(3) \(A(5)=5(5+2)=5\times7=\boxed{35}\).

(4) Pour tester \((3;15)\), on calcule \(A(3)\). Comme \(A(3)=15\), le point \(\boxed{(3;15)}\) appartient bien à la représentation graphique de \(A\).

(1) \(A(2)=4\times2+6=\boxed{14}\) et \(B(2)=6\times2=\boxed{12}\). Pour \(x=2\), le tarif B est donc moins cher.

(2) \(A(5)=20+6=\boxed{26}\) et \(B(5)=30\). Pour \(x=5\), le tarif A est moins cher.

(3) \(4x+6=6x\Rightarrow6=2x\Rightarrow\boxed{x=3}\). Les deux tarifs sont égaux pour \(x=3\).

(4) Conclusion : pour \(x=2\), \(B(2)<A(2)\), donc B est moins cher ; pour \(x=5\), \(A(5)<B(5)\), donc A est moins cher.

(1) Dans le tableau, \(\boxed{V(4)=80\text{ L}}\) : après 4 minutes, le réservoir contient 80 L. Le nombre qui a pour antécédent 10 est l’image de 10 : \(\boxed{V(10)=110\text{ L}}\).

(2) La valeur 80 L apparaît pour \(t=4\), \(t=6\) et \(t=8\). Les antécédents sont donc \(\boxed{4,6,8}\). Les points correspondants sont alignés horizontalement à l’ordonnée 80 L ; les seuls relevés ne prouvent pas que le volume est constant à tout instant intermédiaire.

(3) On place les points \((0;20)\), \((2;50)\), \((4;80)\), \((6;80)\), \((8;80)\), \((10;110)\), \((12;140)\), puis on les relie dans l’ordre croissant des temps.

(4) De 8 à 12 min, le volume passe de 80 L à 140 L : augmentation de 60 L en 4 min. Le débit vaut \(\boxed{60/4=15\text{ L/min}}\). Pour atteindre 125 L à partir de 80 L, il faut ajouter 45 L, soit \(45/15=3\) min. Le volume atteint donc 125 L à \(\boxed{t=11\text{ min}}\).

1. Pour \(n\) séances : \(\boxed{A(n)=10+4n}\) et \(\boxed{B(n)=6{,}5n}\), en euros.

2. Pour 3 séances : \(A(3)=10+12=\boxed{22}\) € et \(B(3)=19{,}5\) €. Pour 8 séances : \(A(8)=10+32=\boxed{42}\) € et \(B(8)=\boxed{52}\) €.

3. \(10+4n=6{,}5n\iff10=2{,}5n\iff\boxed{n=4}\). Les deux tarifs coûtent alors 26 €.

4. \(10+4n<6{,}5n\iff n>4\). Comme \(n\) est entier, A est strictement moins cher dès 5 séances.

5. Pour A : \(10+4n\le42\iff n\le8\), soit \(\boxed{8\text{ séances}}\). Pour B : \(6{,}5n\le42\iff n\le\frac{42}{6{,}5}\approx6{,}46\), soit \(\boxed{6\text{ séances}}\).

a. Le dénominateur est \(x-1\). Il s’annule pour \(x=1\) : la fraction est donc non définie en 1, et définie pour \(x\ne1\).

b. \(f(-2)=\frac0{-3}=\boxed0\) ; \(f(-1)=\frac1{-2}=\boxed{-\frac12}\) ; \(f(-0{,}5)=\frac{1{,}5}{-1{,}5}=\boxed{-1}\) ; \(f(0)=\frac2{-1}=\boxed{-2}\) ; \(f(2)=\frac4{1}=\boxed4\) ; \(f(4)=\frac6{3}=\boxed2\).

c. Comme \(f(0)=-2\), un antécédent de \(-2\) est \(\boxed0\). Comme \(f(-0{,}5)=-1\), un antécédent de \(-1\) est \(\boxed{-0{,}5}\). Comme \(f(-1)=-0{,}5\), un antécédent de \(-0{,}5\) est \(\boxed{-1}\). Les antécédents de \(0\), \(2\) et \(4\) sont respectivement \(\boxed{-2}\), \(\boxed4\) et \(\boxed2\).