Cours — Notion De Fonctions Et Représentation Graphique (3e)

Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Notion De Fonctions Et Représentation Graphique. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler lecture graphique, images et antécédents, variations, modélisation.
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Cours — Notion de fonctions et représentation graphique
L’essentiel pour le Brevet : comprendre une fonction, calculer et lire images/antécédents, exploiter une formule, un tableau, un diagramme ou une courbe.
Objectifs Notion de fonction Image / antécédent Formule Tableau Diagramme Courbe Équations graphiques Variations Problèmes Checklist
1) Objectifs et représentations d’une fonction
Ce qu’il faut savoir faire
  • Comprendre la notation \(f(x)\).
  • Calculer une image à partir d’une formule.
  • Déterminer un antécédent par calcul, tableau ou graphique.
  • Lire et compléter un tableau de valeurs.
  • Lire une courbe dans un repère.
  • Résoudre graphiquement \(f(x)=k\).
  • Lire des zéros, un maximum, un minimum et des variations.
Une même fonction, plusieurs représentations
  • Une formule : \(f(x)=x^2-1\).
  • Un tableau de valeurs.
  • Un diagramme de correspondances.
  • Une courbe dans un repère.
  • Une situation concrète : prix, distance, aire, température…
2) Qu’est-ce qu’une fonction ?
Une fonction associe à chaque nombre \(x\) de son domaine une seule image. On note cette image \(f(x)\).
Exemple
Si \(f(x)=x^2+2\), alors : \[f(3)=3^2+2=11.\] La fonction associe \(3\) à \(11\).
Ce qui n’est pas une fonction
Si une relation associait au même nombre \(x=2\) deux images différentes \(5\) et \(-1\), elle ne définirait pas une fonction.
3) Image et antécédent
\[\boxed{f(3)=7}\] se lit : « l’image de \(3\) par \(f\) est \(7\) » ou « \(3\) est un antécédent de \(7\) par \(f\) ».
Image
Pour un antécédent donné, une fonction possède une seule image.
Antécédent
Une même image peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Exemple — plusieurs antécédents
Pour \(f(x)=x^2\), l’image \(9\) a deux antécédents : \[f(-3)=9 \qquad\text{et}\qquad f(3)=9.\]
4) Utiliser une formule
Calculer une image
Soit \(f(x)=2x^2-3\). \[f(-2)=2\times(-2)^2-3=5.\]
Chercher un antécédent
Soit \(g(x)=3x-4\). Un antécédent de \(11\) vérifie : \[3x-4=11 \Longrightarrow x=5.\]
Attention aux parenthèses : pour \(f(x)=x^2\), on écrit \(f(-3)=(-3)^2=9\).
5) Lire et compléter un tableau de valeurs
\(x\)-3-1024
\(f(x)\)51-231
On lit directement : \[\boxed{f(2)=3}.\]
L’image \(1\) possède ici deux antécédents : \(-1\) et \(4\).
6) Diagramme de correspondances
Fonction g -32 -15 0-2 21
On suit une flèche de gauche à droite : \(g(-1)=5\), \(g(0)=-2\), etc.
7) Lire une représentation graphique
Un point \(A(a;b)\) appartient à la courbe \(C_f\) exactement lorsque \(b=f(a)\).
-5-4-3-2-112345-4-3-2-11234xyOC_f
Lire une image
À l’abscisse \(x=2\), la courbe donne l’ordonnée \(3\) : \[\boxed{f(2)=3}.\]
Lire des antécédents
La valeur \(3\) est atteinte pour \(x=1\) et \(x=2\).
8) Zéros et équations graphiques
Résoudre \(f(x)=0\)
On cherche les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses. Ces abscisses sont les zéros.
Résoudre \(f(x)=k\)
On cherche les intersections de \(C_f\) avec la droite horizontale d’équation \(y=k\), puis on lit leurs abscisses.
-5-4-3-2-112345-4-3-2-11234xyOC_g
Sur cette courbe, on lit trois zéros : \(x=-3\), \(x=0\) et \(x=3\).
9) Lire variations, maximum et minimum
Variation
Une fonction est croissante si la courbe monte quand \(x\) augmente, décroissante si elle descend, constante si elle est horizontale.
Extremum
Le maximum est la plus grande valeur atteinte ; le minimum est la plus petite.
Sur \(C_f\), la courbe possède un palier de \(x=1\) à \(x=2\) à la valeur \(3\).
10) Modéliser une situation par une fonction
Exemple — prix
Un service coûte \(4\) € de frais fixes puis \(2{,}5\) € par heure : \[C(t)=4+2{,}5t.\]
Exemple — aire
Un rectangle a pour côtés \(x\) et \(10-x\) : \[A(x)=x(10-x).\]
11) Checklist avant le Brevet
  • Je sais expliquer ce que signifie \(f(a)=b\).
  • Je sais distinguer image et antécédent.
  • Je sais calculer une image à partir d’une formule.
  • Je sais chercher un antécédent par calcul quand c’est possible.
  • Je sais lire un tableau et repérer plusieurs antécédents.
  • Je sais lire une image et des antécédents sur une courbe.
  • Je sais résoudre graphiquement \(f(x)=0\) et \(f(x)=k\).
  • Je sais lire variations, maximum et minimum.
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