Variables Aleatoires Simples
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Variables aléatoires simples
Loi discrète • espérance • variance • écart-type • interprétation
Essentiel
Loi de probabilité
Une loi discrète donne les valeurs possibles \(x_i\) et les probabilités \(P(X=x_i)\).
Condition
\[
\sum P(X=x_i)=1
\]
Espérance
\[
E(X)=\sum x_iP(X=x_i)
\]
L’espérance est une moyenne théorique, pas forcément une valeur réellement observée.
Variance et écart-type
Variance
\[
V(X)=\sum P(X=x_i)\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2
\]
Écart-type
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
Interprétation
Espérance
Gain moyen attendu à long terme.
Dispersion
Plus la variance ou l’écart-type est grand, plus le résultat est incertain.
Mini-tests corrigés
Test 1
Si \(X\) prend 0 avec probabilité 0,5 et 2 avec probabilité 0,5, alors :
\[
E(X)=1
\]
Test 2
Si \(V(X)=9\), alors :
\[
\sigma(X)=3
\]
Test 3
Une loi de probabilité doit avoir une somme des probabilités égale à 1.
Test 4
Une espérance de 2,5 signifie un gain moyen théorique de 2,5 €.