Variables Aleatoires Simples
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Variables aléatoires simples
Lois discrètes • espérance • variance • écart-type • interprétation économique
1) Définition
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
On note souvent cette variable par \(X\).
Les valeurs prises par \(X\) sont notées \(x_1, x_2, \dots\).
Exemple
On lance une pièce :
- si on obtient pile, on gagne \(2\) € ;
- si on obtient face, on gagne \(0\) €.
2) Loi de probabilité discrète
La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète donne :
- les valeurs possibles \(x_i\),
- les probabilités \(P(X=x_i)\).
La somme des probabilités vaut toujours :
\[
1
\]
Exemple de tableau de loi
| \(x_i\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(0{,}5\) | \(0{,}5\) |
3) Espérance
L’espérance de \(X\), notée \(E(X)\), est la moyenne théorique des valeurs prises par \(X\) :
\[
E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\cdots
\]
Exemple
Si \(X\) prend \(0\) avec probabilité \(0{,}5\) et \(2\) avec probabilité \(0{,}5\), alors :
\[
E(X)=0\times 0{,}5+2\times 0{,}5=1.
\]
Donc :
\[
\boxed{E(X)=1}
\]
L’espérance n’est pas forcément une valeur que la variable prend réellement.
4) Variance
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :
\[
V(X)=\sum P(X=x_i)\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2
\]
Exemple
Avec \(E(X)=1\), on a :
\[
V(X)=0{,}5(0-1)^2+0{,}5(2-1)^2
\]
\[
V(X)=0{,}5\times 1+0{,}5\times 1=1.
\]
Donc :
\[
\boxed{V(X)=1}
\]
5) Écart-type
L’écart-type est la racine carrée de la variance :
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
Il mesure aussi la dispersion, mais dans la même unité que \(X\).
6) Interprétation économique
Espérance
Elle représente le gain moyen attendu à long terme.
Variance / écart-type
Ils renseignent sur le risque ou l’irrégularité.
Un jeu peut avoir une espérance favorable mais être très risqué si la dispersion est forte.
7) Formulaire
\[
\sum P(X=x_i)=1
\]
\[
E(X)=\sum x_iP(X=x_i)
\]
\[
V(X)=\sum P(X=x_i)\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]