✏️ Exercices — Variables aléatoires simples
Thèmes : loi discrète • espérance • variance • écart-type • interprétation.
Objectif : calculer une loi, une espérance et une variance, puis interpréter les résultats.
Exercice 1 — Lire une loi de probabilité
Tle STMGOn donne la loi de \(X\) :
| \(x_i\) | 0 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
- (a) Donner \(P(X=5)\).
- (b) Donner \(P(X=10)\).
- (c) Vérifier que c’est bien une loi de probabilité.
Exercice 2 — Calculer une espérance
Tle STMGOn donne la loi de \(X\) :
| \(x_i\) | 1 | 3 | 7 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Calculer \(E(X)\).
Exercice 3 — Calculer une variance
Tle STMGOn considère la loi :
| \(x_i\) | 0 | 2 |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,5 | 0,5 |
Calculer \(V(X)\).
Exercice 4 — Calculer un écart-type
Tle STMGOn sait que :
\[ V(X)=2{,}25 \]
Calculer \(\sigma(X)\).
Exercice 5 — Jeu simple
Tle STMGUn jeu consiste à tirer une carte :
- on gagne \(10\) € avec probabilité \(0,1\),
- on gagne \(2\) € avec probabilité \(0,4\),
- on gagne \(0\) € avec probabilité \(0,5\).
Calculer l’espérance du gain.
Exercice 6 — Loi à compléter
Tle STMGUne variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(1\), \(4\), \(6\).
On sait que :
\[ P(X=1)=0{,}2,\qquad P(X=4)=0{,}5 \]
Calculer \(P(X=6)\).
Exercice 7 — Espérance d’un gain algébrique
Tle STMGUn jeu donne :
- un gain de \(5\) € avec probabilité \(0,3\),
- une perte de \(2\) € avec probabilité \(0,7\).
Calculer l’espérance.
Exercice 8 — Interpréter une espérance
Tle STMGOn a calculé pour un jeu :
\[ E(X)=2{,}4 \]
Interpréter ce résultat.
Exercice 9 — Comparer deux jeux
Tle STMGLe jeu A a pour espérance \(1{,}2\) et le jeu B a pour espérance \(2{,}1\).
Quel jeu est le plus favorable ?
Exercice 10 — Loi à trois valeurs
Tle STMGOn considère la loi suivante :
| \(x_i\) | -1 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Calculer \(E(X)\).
Exercice 11 — Variance à partir d’une espérance connue
Tle STMGUne variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(0\) et \(4\) avec probabilité \(0,5\) chacune.
On sait que \(E(X)=2\).
Calculer \(V(X)\).
Exercice 12 — Exercice complet
Tle STMGOn donne la loi suivante :
| \(x_i\) | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
- (a) Vérifier que c’est une loi de probabilité.
- (b) Calculer \(E(X)\).
- (c) Calculer \(V(X)\).