Exercices corrigés — Variables aléatoires simples (Tle STMG)

(a) On lit directement : \[ \boxed{P(X=5)=0{,}5} \]

(b) On lit directement : \[ \boxed{P(X=10)=0{,}3} \]

(c) \[ 0{,}2+0{,}5+0{,}3=1 \] Donc c’est bien une loi de probabilité.

\[ E(X)=1 imes 0{,}2+3 imes 0{,}5+7 imes 0{,}3 \]

\[ E(X)=0{,}2+1{,}5+2{,}1=3{,}8 \]

Donc : \[ \boxed{E(X)=3{,}8} \]

On calcule d’abord : \[ E(X)=0 imes 0{,}5+2 imes 0{,}5=1 \]

Puis : \[ V(X)=0{,}5(0-1)^2+0{,}5(2-1)^2 \]

\[ V(X)=0{,}5 imes1+0{,}5 imes1=1 \]

Donc : \[ \boxed{V(X)=1} \]

\[ \sigma(X)=\sqrt{2{,}25}=1{,}5 \]

Donc : \[ \boxed{\sigma(X)=1{,}5} \]

\[ E(X)=10 imes 0{,}1+2 imes 0{,}4+0 imes 0{,}5 \]

\[ E(X)=1+0{,}8+0=1{,}8 \]

Donc l’espérance du gain est : \[ \boxed{1{,}8 ext{ €}} \]

\[ P(X=6)=1-0{,}2-0{,}5=0{,}3 \]

Donc : \[ \boxed{P(X=6)=0{,}3} \]

\[ E(X)=5 imes 0{,}3+(-2) imes 0{,}7 \]

\[ E(X)=1{,}5-1{,}4=0{,}1 \]

Donc : \[ \boxed{E(X)=0{,}1 ext{ €}} \]

Une espérance de \(2{,}4\) signifie que, sur un très grand nombre de parties, le gain moyen par partie est de \(2{,}4\) €.

Comme \(2{,}1>1{,}2\), le jeu B est plus favorable.

\[ \boxed{ ext{Le jeu B est le plus favorable}} \]

\[ E(X)=(-1) imes 0{,}2+0 imes 0{,}5+4 imes 0{,}3 \]

\[ E(X)=-0{,}2+0+1{,}2=1 \]

Donc : \[ \boxed{E(X)=1} \]

\[ V(X)=0{,}5(0-2)^2+0{,}5(4-2)^2 \]

\[ V(X)=0{,}5 imes4+0{,}5 imes4=4 \]

Donc : \[ \boxed{V(X)=4} \]

(a) \[ 0{,}2+0{,}5+0{,}3=1 \] donc c’est bien une loi de probabilité.

(b) \[ E(X)=0 imes 0{,}2+1 imes 0{,}5+3 imes 0{,}3 \] \[ E(X)=0+0{,}5+0{,}9=1{,}4 \] donc : \[ \boxed{E(X)=1{,}4} \]

(c) \[ V(X)=0{,}2(0-1{,}4)^2+0{,}5(1-1{,}4)^2+0{,}3(3-1{,}4)^2 \]

\[ V(X)=0{,}2 imes1{,}96+0{,}5 imes0{,}16+0{,}3 imes2{,}56 \]

\[ V(X)=0{,}392+0{,}08+0{,}768=1{,}24 \]

Donc : \[ \boxed{V(X)=1{,}24} \]