Statistique Descriptive Approfondie
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Statistique descriptive approfondie
Moyennes • médianes • quartiles • variance • écart-type • représentations graphiques
1) Série statistique
Une série statistique est un ensemble de données observées sur une population ou un échantillon.
On note souvent :
- \(x_i\) : les valeurs observées,
- \(n_i\) : les effectifs associés,
- \(N=n_1+n_2+\cdots\) : l’effectif total.
Exemple
Notes observées : \(8,10,12,12,15\).
Les valeurs distinctes sont \(8,10,12,15\) et les effectifs sont respectivement \(1,1,2,1\).
Les valeurs distinctes sont \(8,10,12,15\) et les effectifs sont respectivement \(1,1,2,1\).
2) Indicateurs de position
Moyenne
Pour une série de valeurs \(x_i\) d’effectifs \(n_i\) :
\[
\overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots}{N}
\]
Médiane
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Quartiles
\(Q_1\) : au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
\(Q_3\) : au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
\(Q_3\) : au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
Étendue
\[
\text{Étendue}=\text{maximum}-\text{minimum}
\]
La moyenne donne une valeur centrale “calculée”, alors que la médiane dépend du rangement des données.
3) Indicateurs de dispersion
Variance
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
\[
V=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+\cdots+n_k(x_k-\overline{x})^2}{N}
\]
Écart-type
L’écart-type est la racine carrée de la variance :
\[
\sigma=\sqrt{V}
\]
Plus l’écart-type est grand, plus les données sont dispersées.
4) Représentations graphiques
| Type | Utilisation |
|---|---|
| Diagramme en bâtons | Comparer des valeurs discrètes |
| Histogramme | Étudier des données regroupées en classes |
| Diagramme circulaire | Montrer des proportions |
| Boîte à moustaches | Visualiser médiane, quartiles et dispersion |
La boîte à moustaches fait apparaître :
\[
\text{minimum},\ Q_1,\ \text{médiane},\ Q_3,\ \text{maximum}.
\]
5) Interpréter une série statistique
Comparer des séries
Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais une dispersion différente.
Conclusion
Il faut regarder plusieurs indicateurs à la fois : moyenne, médiane, quartiles, écart-type.
En gestion, cela permet par exemple d’analyser des ventes, des coûts, des notes, des salaires ou des délais.
6) Formulaire
\[
\overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots}{N}
\]
\[
\text{Étendue}=\text{max}-\text{min}
\]
\[
V=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+\cdots+n_k(x_k-\overline{x})^2}{N}
\]
\[
\sigma=\sqrt{V}
\]