Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et arbres (Tle STMG)

\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4 \]

Donc : \[ \boxed{P_A(B)=0{,}4} \]

\[ P(A\cap B)=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24 \]

Donc : \[ \boxed{P(A\cap B)=0{,}24} \]

\[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \]

\[ P(B)=0{,}4\times 0{,}6+0{,}6\times 0{,}3 \]

\[ P(B)=0{,}24+0{,}18=0{,}42 \]

Donc : \[ \boxed{P(B)=0{,}42} \]

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}7\times 0{,}5=0{,}35 \]

Donc : \[ \boxed{P(A\cap B)=0{,}35} \]

(a) \[ P(\overline{A})=1-0{,}2=0{,}8 \] donc \(\boxed{P(\overline{A})=0{,}8}\).

(b) \[ P_A(\overline{B})=1-P_A(B)=1-0{,}9=0{,}1 \] donc \(\boxed{P_A(\overline{B})=0{,}1}\).

\[ P(A)\times P(B)=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2 \]

Or : \[ P(A\cap B)=0{,}2 \]

Comme : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \] les événements sont indépendants.

\[ \boxed{A\text{ et }B\text{ sont indépendants}} \]

\[ P_{\overline{A}}(B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})} =\frac{0{,}18}{0{,}6}=0{,}3 \]

Donc : \[ \boxed{P_{\overline{A}}(B)=0{,}3} \]

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}25\times 0{,}4=0{,}1 \]

Donc : \[ \boxed{P(A\cap B)=0{,}1} \]

\[ P_A(\overline{B})=1-P_A(B)=1-0{,}2=0{,}8 \]

\[ P(A\cap \overline{B})=P(A)\times P_A(\overline{B})=0{,}55\times 0{,}8=0{,}44 \]

Donc : \[ \boxed{P(A\cap \overline{B})=0{,}44} \]

\[ P(\overline{A})=1-0{,}65=0{,}35 \]

\[ P(B)=0{,}65\times 0{,}7+0{,}35\times 0{,}1 \]

\[ P(B)=0{,}455+0{,}035=0{,}49 \]

Donc : \[ \boxed{P(B)=0{,}49} \]

Comme : \[ P_A(B)=P(B) \] la réalisation de \(A\) ne modifie pas la probabilité de \(B\).

Donc : \[ \boxed{A\text{ et }B\text{ sont indépendants}} \]

(a) \[ P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2 \] donc \(\boxed{P(A\cap B)=0{,}2}\).

(b) \[ P(\overline{A})=1-0{,}4=0{,}6 \] donc \[ P(\overline{A}\cap B)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15 \] donc \(\boxed{P(\overline{A}\cap B)=0{,}15}\).

(c) \[ P(B)=0{,}2+0{,}15=0{,}35 \] donc : \[ \boxed{P(B)=0{,}35} \]