Probabilites Conditionnelles Et Arbres
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Probabilités conditionnelles et arbres
Arbres pondérés • probabilités conditionnelles • événements indépendants • formules de probabilité
Probabilité conditionnelle Probabilité d’une intersection Arbre pondéré Probabilités totales Indépendance Formulaire
1) Probabilité conditionnelle
Si \(P(A)\neq 0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) est : \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]
Cette probabilité représente la probabilité de \(B\) lorsque l’on sait déjà que \(A\) est réalisé.
Exemple
Dans une classe, on note :
  • \(A\) : « l’élève est une fille »
  • \(B\) : « l’élève pratique un sport »
Alors \(P_A(B)\) désigne la probabilité qu’un élève pratique un sport sachant que c’est une fille.
2) Probabilité d’une intersection
Formule
\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \]
Version symétrique
\[ P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A) \]
On utilise la branche du premier événement, puis celle du second sachant le premier.
3) Arbre pondéré
Un arbre pondéré permet de représenter les situations conditionnelles étape par étape.
Règles
  • Les probabilités issues d’un même nœud ont pour somme \(1\).
  • La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités des branches.
Exemple d’arbre
On note :
  • \(P(A)=0{,}4\)
  • \(P_A(B)=0{,}7\)
  • \(P_{\overline{A}}(B)=0{,}2\)
Alors : \[ P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}7=0{,}28 \] et \[ P(\overline{A}\cap B)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12. \]
4) Formule des probabilités totales
Si \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition, alors : \[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B). \]
Exemple
On sait que : \[ P(A)=0{,}3,\qquad P_A(B)=0{,}75,\qquad P_{\overline{A}}(B)=0{,}2. \] Alors : \[ P(B)=0{,}3\times 0{,}75+0{,}7\times 0{,}2 \] \[ P(B)=0{,}225+0{,}14=0{,}365. \] Donc : \[ \boxed{P(B)=0{,}365} \]
5) Événements indépendants
Définition
Les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si : \[ P_A(B)=P(B) \]
Autre écriture
Cela revient à écrire : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B). \]
Indépendants ne veut pas dire incompatibles.
6) Formulaire
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \] \[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \] \[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \] \[ A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P_A(B)=P(B) \] \[ A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \]