Exercices corrigés — Modélisation mathématique appliquée (Tle STMG)

(a) Le coût total s’écrit : \[ C(x)=8x+120 \] donc : \[ \boxed{C(x)=8x+120} \]

(b) \[ C(10)=8 imes 10+120=80+120=200 \] donc : \[ \boxed{C(10)=200} \]

(a) \[ R(x)=15x \] donc : \[ \boxed{R(x)=15x} \]

(b) \[ R(25)=15 imes 25=375 \] donc : \[ \boxed{R(25)=375} \]

(a) \[ B(x)=R(x)-C(x)=12x-(6x+100)=6x-100 \] donc : \[ \boxed{B(x)=6x-100} \]

(b) \[ B(20)=6 imes 20-100=120-100=20 \] donc : \[ \boxed{B(20)=20} \]

On cherche : \[ 12x \ge 6x+100 \]

\[ 6x \ge 100 \]

\[ x \ge rac{100}{6}\approx 16{,}67 \]

Comme \(x\) représente un nombre de produits entiers, il faut vendre au moins 17 produits.

\[ \boxed{17 ext{ produits}} \]

(a) Le nombre 80 représente le coût fixe, c’est-à-dire le coût lorsqu’on ne produit aucun objet.

(b) Le nombre 4 représente le coût variable par objet produit.

(a) \[ B(4)=-(4)^2+20 imes 4-24=-16+80-24=40 \] donc : \[ \boxed{B(4)=40} \]

(b) \[ B(10)=-(10)^2+20 imes 10-24=-100+200-24=76 \] donc : \[ \boxed{B(10)=76} \]

(a) \[ B(6)=-(6)^2+12 imes 6=-36+72=36 \] donc : \[ \boxed{B_{\max}=36} \]

(b) Le bénéfice est maximal lorsque \(x=6\). Cela signifie que le meilleur choix, selon ce modèle, est de produire ou vendre 6 unités.

(a) \[ 2000 imes 1{,}05=2100 \] donc le chiffre d’affaires de l’année suivante est : \[ \boxed{2100 ext{ €}} \]

(b) On remplace la situation réelle par une règle mathématique d’évolution, ici une hausse de 5 %, donc un coefficient multiplicateur \(1{,}05\).

On peut choisir \(x\) égal au nombre de stylos fabriqués.

\[ \boxed{x= ext{nombre de stylos fabriqués}} \]

Une quantité produite ne peut pas être négative.

Donc \(x=-3\) n’a pas de sens dans le contexte : c’est une solution mathématique non acceptable dans la réalité.

\[ C(15)=5 imes 15+60=75+60=135 \]

\[ R(15)=11 imes 15=165 \]

\[ B(15)=R(15)-C(15)=165-135=30 \]

Donc : \[ \boxed{B(15)=30} \]

(a) \[ B(x)=R(x)-C(x)=13x-(7x+90)=6x-90 \] donc : \[ \boxed{B(x)=6x-90} \]

(b) \[ B(20)=6 imes 20-90=120-90=30 \] donc : \[ \boxed{B(20)=30} \]

(c) On cherche : \[ B(x)>0 \] soit : \[ 6x-90>0 \] \[ 6x>90 \] \[ x>15 \]

Donc le bénéfice devient positif à partir de 16 objets.

\[ \boxed{16 ext{ objets}} \]