Modelisation Mathematique Appliquee
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Modélisation mathématique appliquée
Résolution de problèmes concrets • choix d’un modèle • fonctions • interprétation en contexte
1) Définition
Modéliser, c’est traduire une situation réelle par un outil mathématique : tableau, fonction, formule, équation, suite, graphique...
L’objectif est de :
- comprendre une situation concrète,
- prévoir une évolution,
- prendre une décision,
- optimiser un résultat.
2) Étapes d’une modélisation
Étape 1
Identifier les grandeurs en jeu : prix, temps, quantité, coût, recette, bénéfice, etc.
Étape 2
Choisir une variable et exprimer les autres grandeurs en fonction d’elle.
Étape 3
Écrire un modèle : fonction affine, polynôme, suite, tableau de valeurs...
Étape 4
Interpréter le résultat dans le contexte réel.
3) Fonctions souvent utilisées
Fonction affine
\[
f(x)=ax+b
\]
Très utilisée pour modéliser un coût fixe + un coût variable.
Fonction du second degré
\[
f(x)=ax^2+bx+c
\]
Utile pour étudier des maximums ou minimums.
Suites
Utiles pour modéliser des évolutions répétées, par exemple des hausses successives.
Pourcentages / indices
Utiles pour modéliser des évolutions économiques ou commerciales.
Le modèle choisi doit être cohérent avec la situation étudiée.
4) Interprétation des résultats
Un résultat mathématique ne suffit pas : il faut toujours le relier au contexte.
Exemple
Si un bénéfice maximal est atteint pour \(x=120\), cela signifie que l’entreprise a intérêt à produire ou vendre \(120\) unités pour maximiser son bénéfice.
Une solution mathématique peut être impossible dans le contexte : quantité négative, prix non réaliste, temps impossible, etc.
5) Optimisation
L’optimisation consiste à rechercher la meilleure valeur possible d’une grandeur :
minimum de coût, maximum de recette, bénéfice maximal...
Exemples
- minimiser une dépense,
- maximiser une recette,
- choisir une quantité de production optimale.
Outils
- tableaux de valeurs,
- étude de fonction,
- dérivation,
- lecture graphique.
6) Repères méthodologiques
1. Lire soigneusement l’énoncé
2. Choisir la variable
3. Écrire l’expression mathématique adaptée
4. Calculer
5. Interpréter la réponse dans le contexte