Exercices corrigés — Dérivation et application (Tle STMG)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale STMG sur Dérivation et application. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale STMG, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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✏️ Exercices — Dérivation et application

Thèmes : nombre dérivé • tangente • calcul de dérivées • sens de variation • maximum / minimum • optimisation.
Objectif : maîtriser les bases de la dérivation et les applications en contexte STMG.

Exercice 1 — Dériver une fonction affine
Tle STMG

On considère la fonction :

\[ f(x)=5x-3 \]

  1. (a) Calculer \(f'(x)\).
  2. (b) Donner \(f'(2)\).
  3. (c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
Exercice 2 — Dériver un polynôme du second degré
Tle STMG

Soit :

\[ g(x)=x^2-6x+4 \]

  1. (a) Calculer \(g'(x)\).
  2. (b) Résoudre \(g'(x)=0\).
Exercice 3 — Étudier des variations
Tle STMG

On considère :

\[ h(x)=x^2-4x+1 \]

  1. (a) Calculer \(h'(x)\).
  2. (b) Résoudre \(h'(x)=0\).
  3. (c) En déduire les variations de \(h\).
Exercice 4 — Trouver un minimum
Tle STMG

On considère la fonction :

\[ f(x)=x^2-8x+5 \]

  1. (a) Calculer \(f'(x)\).
  2. (b) Déterminer l’abscisse du minimum.
  3. (c) Calculer la valeur minimale.
Exercice 5 — Tangente et pente
Tle STMG

On sait que pour une fonction \(f\), on a :

\[ f'(3)=7 \]

  1. (a) Que représente ce nombre ?
  2. (b) La tangente est-elle montante ou descendante ?
Exercice 6 — Dérivée d’une fonction inverse
Tle STMG

Soit :

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

  1. (a) Donner \(f'(x)\).
  2. (b) Calculer \(f'(2)\).
Exercice 7 — Dérivée et croissance
Tle STMG

On considère :

\[ f(x)=x^2+2x+3 \]

  1. (a) Calculer \(f'(x)\).
  2. (b) Résoudre \(f'(x)=0\).
  3. (c) Sur quel intervalle la fonction est-elle croissante ?
Exercice 8 — Optimisation économique
Tle STMG

Le bénéfice d’une entreprise est modélisé par :

\[ B(x)=-x^2+10x+3 \]

où \(x\) représente un nombre d’unités (dans le cadre du modèle).

  1. (a) Calculer \(B'(x)\).
  2. (b) Déterminer l’abscisse du maximum.
  3. (c) Calculer le bénéfice maximal.
Exercice 9 — Racines d’une fonction
Tle STMG

On considère :

\[ f(x)=x^2-9 \]

  1. (a) Résoudre \(f(x)=0\).
  2. (b) Donner les racines de la fonction.
Exercice 10 — Dérivée d’une racine carrée
Tle STMG

Soit :

\[ f(x)=\sqrt{x} \]

  1. (a) Donner \(f'(x)\) pour \(x>0\).
  2. (b) Calculer \(f'(4)\).
Exercice 11 — Lire une tangente horizontale
Tle STMG

On sait que pour une fonction \(f\), la tangente au point d’abscisse \(a\) est horizontale.

  1. (a) Que vaut \(f'(a)\) ?
  2. (b) Que peut-on suspecter pour la fonction en ce point ?
Exercice 12 — Tableau de signe d’une dérivée
Tle STMG

On sait que \(f'(x)=3x-6\).

  1. (a) Résoudre \(f'(x)=0\).
  2. (b) Donner le signe de \(f'(x)\) si \(x<2\).
  3. (c) Donner le signe de \(f'(x)\) si \(x>2\).
  4. (d) En déduire les variations de \(f\).
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