Derivation Et Application
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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✏️ Exercices — Dérivation et application

Thèmes : nombre dérivé • tangente • calcul de dérivées • sens de variation • maximum / minimum • optimisation.
Objectif : maîtriser les bases de la dérivation et les applications en contexte STMG.

Exercice 1 — Dériver une fonction affine
Tle STMG

On considère la fonction :

\[ f(x)=5x-3 \]

  1. (a) Calculer \(f'(x)\).
  2. (b) Donner \(f'(2)\).
  3. (c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
Exercice 2 — Dériver un polynôme du second degré
Tle STMG

Soit :

\[ g(x)=x^2-6x+4 \]

  1. (a) Calculer \(g'(x)\).
  2. (b) Résoudre \(g'(x)=0\).
Exercice 3 — Étudier des variations
Tle STMG

On considère :

\[ h(x)=x^2-4x+1 \]

  1. (a) Calculer \(h'(x)\).
  2. (b) Résoudre \(h'(x)=0\).
  3. (c) En déduire les variations de \(h\).
Exercice 4 — Trouver un minimum
Tle STMG

On considère la fonction :

\[ f(x)=x^2-8x+5 \]

  1. (a) Calculer \(f'(x)\).
  2. (b) Déterminer l’abscisse du minimum.
  3. (c) Calculer la valeur minimale.
Exercice 5 — Tangente et pente
Tle STMG

On sait que pour une fonction \(f\), on a :

\[ f'(3)=7 \]

  1. (a) Que représente ce nombre ?
  2. (b) La tangente est-elle montante ou descendante ?
Exercice 6 — Dérivée d’une fonction inverse
Tle STMG

Soit :

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

  1. (a) Donner \(f'(x)\).
  2. (b) Calculer \(f'(2)\).
Exercice 7 — Dérivée et croissance
Tle STMG

On considère :

\[ f(x)=x^2+2x+3 \]

  1. (a) Calculer \(f'(x)\).
  2. (b) Résoudre \(f'(x)=0\).
  3. (c) Sur quel intervalle la fonction est-elle croissante ?
Exercice 8 — Optimisation économique
Tle STMG

Le bénéfice d’une entreprise est modélisé par :

\[ B(x)=-x^2+10x+3 \]

où \(x\) représente un nombre d’unités (dans le cadre du modèle).

  1. (a) Calculer \(B'(x)\).
  2. (b) Déterminer l’abscisse du maximum.
  3. (c) Calculer le bénéfice maximal.
Exercice 9 — Racines d’une fonction
Tle STMG

On considère :

\[ f(x)=x^2-9 \]

  1. (a) Résoudre \(f(x)=0\).
  2. (b) Donner les racines de la fonction.
Exercice 10 — Dérivée d’une racine carrée
Tle STMG

Soit :

\[ f(x)=\sqrt{x} \]

  1. (a) Donner \(f'(x)\) pour \(x>0\).
  2. (b) Calculer \(f'(4)\).
Exercice 11 — Lire une tangente horizontale
Tle STMG

On sait que pour une fonction \(f\), la tangente au point d’abscisse \(a\) est horizontale.

  1. (a) Que vaut \(f'(a)\) ?
  2. (b) Que peut-on suspecter pour la fonction en ce point ?
Exercice 12 — Tableau de signe d’une dérivée
Tle STMG

On sait que \(f'(x)=3x-6\).

  1. (a) Résoudre \(f'(x)=0\).
  2. (b) Donner le signe de \(f'(x)\) si \(x<2\).
  3. (c) Donner le signe de \(f'(x)\) si \(x>2\).
  4. (d) En déduire les variations de \(f\).