Derivation Et Application
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Dérivation et application
Nombre dérivé • tangente • sens de variation • optimisation • racines • maximum / minimum
1) Nombre dérivé
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), mesure la variation instantanée de la fonction au point d’abscisse \(a\).
Il donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
Exemple
Si \(f(x)=x^2\), alors :
\[
f'(x)=2x
\]
donc :
\[
f'(3)=2\times 3=6.
\]
Cela signifie qu’en \(x=3\), la tangente a pour pente \(\boxed{6}\).
2) Tangente à une courbe
Idée
La tangente est la droite qui “touche” la courbe au voisinage du point étudié.
Coefficient directeur
Le coefficient directeur de la tangente en \(a\) est :
\[
f'(a)
\]
Une tangente horizontale correspond à :
\[
f'(a)=0
\]
3) Dérivées usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) | \(0\) |
| \(ax+b\) | \(a\) |
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x>0\) |
Pour une somme :
\[
(u+v)'=u'+v'
\]
4) Dérivée et sens de variation
Si \(f'(x)>0\)
La fonction \(f\) est croissante.
Si \(f'(x)<0\)
La fonction \(f\) est décroissante.
Si \(f'(x)=0\)
On étudie le signe de \(f'\) avant et après ce point pour repérer un éventuel maximum ou minimum.
Exemple
Soit :
\[
f(x)=x^2-4x+1
\]
Alors :
\[
f'(x)=2x-4
\]
Donc :
\[
f'(x)=0 \iff 2x-4=0 \iff x=2.
\]
Sur \(]-\infty;2[\), \(f'(x)<0\), donc \(f\) décroît.
Sur \(]2;+\infty[\), \(f'(x)>0\), donc \(f\) croît.
Ainsi, \(f\) admet un minimum en \(x=2\).
Sur \(]2;+\infty[\), \(f'(x)>0\), donc \(f\) croît.
Ainsi, \(f\) admet un minimum en \(x=2\).
5) Optimisation
On utilise la dérivée pour déterminer la valeur qui rend une quantité maximale ou minimale.
Méthode
- Calculer \(f'(x)\).
- Résoudre \(f'(x)=0\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Conclure sur les extremums.
Interprétation
En économie, un maximum peut représenter un bénéfice maximal, un minimum peut représenter un coût minimal.
6) Racines, maximum, minimum
Racine
Une racine de \(f\) est une solution de :
\[
f(x)=0
\]
Extremum
Un extremum est une valeur maximale ou minimale de la fonction sur un intervalle.
7) Formulaire
\[
(ax+b)'=a
\]
\[
(x^2)'=2x
\]
\[
(x^3)'=3x^2
\]
\[
\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}
\]
\[
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
\[
f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ croissante}
\]
\[
f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ décroissante}
\]