Derivation Et Application
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Dérivation et application
Nombre dérivé • tangente • dérivées usuelles • variations • optimisation • extremums
Essentiel
Nombre dérivé
\(f'(a)\) mesure la variation instantanée de \(f\) en \(a\).
C’est aussi la pente de la tangente en \(a\).
C’est aussi la pente de la tangente en \(a\).
Tangente horizontale
Si la tangente est horizontale, alors :
\[
f'(a)=0
\]
Formules usuelles
\[
(ax+b)'=a
\]
\[
(x^2)'=2x
\]
\[
(x^3)'=3x^2
\]
\[
\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}
\]
\[
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
Lien avec les variations
Si \(f'(x)>0\)
\(f\) est croissante.
Si \(f'(x)<0\)
\(f\) est décroissante.
Quand \(f'(x)\) change de signe, on peut obtenir un maximum ou un minimum.
Méthode d’optimisation
- Calculer \(f'(x)\).
- Résoudre \(f'(x)=0\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Conclure sur les variations.
- Lire le maximum ou le minimum.
Mini-tests corrigés
Test 1
Si \(f(x)=4x+1\), alors :
\[
f'(x)=4
\]
Test 2
Si \(g(x)=x^2\), alors :
\[
g'(x)=2x
\]
Test 3
Si \(f'(x)=0\) en un point, on vérifie s’il y a un extremum.
Test 4
Si \(f'(x)>0\), alors la fonction est croissante.