Exercices corrigés — Composition de fonctions (Tle STMG)

(a) \[ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+1+x^2=x^2+2x+1. \] Donc \(\boxed{(f+g)(x)=x^2+2x+1}\).

(b) \[ (f+g)(2)=2^2+2\times 2+1=4+4+1=9. \] Donc \(\boxed{(f+g)(2)=9}\).

(a) \[ (fg)(x)=f(x)\times g(x)=(x+3)(2x)=2x^2+6x. \] Donc \(\boxed{(fg)(x)=2x^2+6x}\).

(b) \[ (fg)(1)=2\times 1^2+6\times 1=2+6=8. \] Donc \(\boxed{(fg)(1)=8}\).

(a) \[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2. \] Donc \(\boxed{(f\circ g)(x)=3x^2+2}\).

(b) \[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2. \] Donc \(\boxed{(g\circ f)(x)=(3x+2)^2}\).

(c) Les deux résultats sont différents. Donc, en général, \[ \boxed{f\circ g \neq g\circ f}. \]

(a) \[ g(3)=2\times 3-1=5 \] puis \[ f(g(3))=f(5)=5+4=9. \] Donc \(\boxed{(f\circ g)(3)=9}\).

(b) \[ f(3)=3+4=7 \] puis \[ g(f(3))=g(7)=2\times 7-1=13. \] Donc \(\boxed{(g\circ f)(3)=13}\).

On part de \(x\).

Après la première étape : \[ x+2 \]

Après la deuxième étape : \[ (x+2)^2 \]

Après la troisième étape : \[ 3(x+2)^2 \] Donc la fonction finale est : \[ \boxed{f(x)=3(x+2)^2} \]

(a) \[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x-2}. \] Donc \(\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+1}{x-2}}\).

(b) Il faut : \[ x-2\neq 0 \] donc \[ x\neq 2. \] La fonction n’est pas définie pour \(\boxed{x=2}\).

(a) La fonction ajoute 5 au nombre de départ.

(b) Pour annuler cette transformation, il faut soustraire 5 : \[ f^{-1}(x)=x-5. \] Donc la fonction réciproque est \(\boxed{x\mapsto x-5}\).

(a) \[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-4)=2(x-4)+3. \]

(b) \[ 2(x-4)+3=2x-8+3=2x-5. \] Donc : \[ \boxed{(f\circ g)(x)=2x-5} \]

(a) On applique d’abord \(h\), puis \(t\). Donc : \[ (t\circ h)(x)=t(h(x))=1{,}2(x+10). \] La fonction prix TTC est donc : \[ \boxed{(t\circ h)(x)=1{,}2(x+10)} \]

(b) \[ (t\circ h)(40)=1{,}2(40+10)=1{,}2\times 50=60. \] Le prix TTC pour \(x=40\) est \(\boxed{60}\).

(a) \[ (f\circ g)(x)=f(2x)=2x+1. \]

(b) \[ (g\circ f)(x)=g(x+1)=2(x+1)=2x+2. \]

(c) On a : \[ 2x+1 \neq 2x+2. \] Donc : \[ \boxed{f\circ g \neq g\circ f} \]

(a) \[ f(2)=\frac{1}{2}. \]

(b) \[ f(-4)=-\frac{1}{4}. \]

(c) Comme \[ f(0)=\frac{1}{0} \] n’a pas de sens, la fonction n’est pas définie en \(0\).

On part de \(x\).

1. On calcule d’abord \(2x-3\) : multiplier par 2 puis soustraire 3.
2. On élève ensuite le résultat au carré : \[ (2x-3)^2 \]
3. Enfin, on multiplie par 5 : \[ 5(2x-3)^2 \]

Les transformations successives sont donc :
multiplier par 2,
soustraire 3,
élever au carré,
multiplier par 5.