Composition De Fonctions
TERMINALE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Composition de fonctions
Opérations sur fonctions • composition • fonctions inverses • chaînes de fonctions • interprétation
1) Opérations sur fonctions
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions, on peut définir :
| Opération | Définition |
|---|---|
| Somme | \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) |
| Différence | \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) |
| Produit | \((fg)(x)=f(x)\times g(x)\) |
| Quotient | \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\), si \(g(x)\neq 0\) |
Exemple
Soit \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\). Alors :
\[
(f+g)(x)=2x+1+x^2=x^2+2x+1
\]
2) Composition de fonctions
La composée de \(f\) par \(g\), notée \(f\circ g\), est définie par :
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
\]
On commence toujours par calculer la fonction de l’intérieur.
Exemple 1
Soit :
\[
f(x)=3x+2,\qquad g(x)=x^2.
\]
Alors :
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2.
\]
Exemple 2
Avec les mêmes fonctions :
\[
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2.
\]
Donc, en général :
\[
f\circ g \neq g\circ f.
\]
3) Chaînes de fonctions
Une chaîne de fonctions est une suite de transformations successives.
Exemple :
\[
x \longmapsto x+1 \longmapsto (x+1)^2 \longmapsto 2(x+1)^2
\]
Méthode
- Repérer la première transformation.
- Appliquer ensuite la deuxième.
- Continuer dans l’ordre indiqué.
4) Fonction inverse et idée de fonction réciproque
Fonction inverse
La fonction inverse est :
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
définie pour \(x\neq 0\).
Idée de fonction réciproque
Une fonction réciproque “annule” l’action d’une autre fonction, quand cela est possible.
Exemple :
si \(f(x)=x+3\), alors la fonction qui annule cette transformation est :
\[
f^{-1}(x)=x-3.
\]
5) Applications
En mathématiques
Simplifier des expressions, décrire des transformations, modéliser plusieurs étapes de calcul.
En économie / gestion
Appliquer successivement une hausse, une taxe, une remise, un coût variable, etc.
Il faut toujours respecter l’ordre des étapes.
6) Formulaire
\[
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
\]
\[
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
\]
\[
(fg)(x)=f(x)\times g(x)
\]
\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
\]
\[
(f\circ g)(x)=f(g(x))
\]