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TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Équations dans \(\mathbb{C}\)
Équations du premier degré dans \(\mathbb{C}\) • équations du type \(z^2=a\) avec \(a\in\mathbb{R}\) • utilisation de \(i^2=-1\) • factorisation • interprétation géométrique simple dans le plan complexe.
Objectifs Rappels 1er degré \(z^2=a\) Factorisation Géométrie Méthode Formulaire
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues
  • Résoudre une équation du type \(az+b=0\) avec \(a\neq 0\).
  • Utiliser correctement la relation fondamentale \(\boxed{i^2=-1}\).
  • Résoudre des équations du type \(\boxed{z^2=a}\) avec \(a\in\mathbb{R}\).
  • Factoriser des expressions simples dans \(\mathbb{C}\).
  • Associer une solution complexe à un point du plan complexe.
Pièges fréquents
  • Écrire à tort \(i^2=1\) au lieu de \(i^2=-1\).
  • Oublier qu’une équation \(z^2=a\) peut admettre deux solutions.
  • Confondre une solution réelle avec une solution complexe.
  • Oublier de vérifier la solution obtenue dans l’équation initiale.
Réflexe de base : je simplifie proprement, j’utilise \(i^2=-1\) au bon moment, puis je conclus avec l’ensemble des solutions.
2) Rappels sur les nombres complexes
Écriture algébrique
Tout nombre complexe s’écrit \[ z = a+ib \qquad \text{avec } a,b\in\mathbb{R}. \]
\(a\) est la partie réelle, \(b\) est la partie imaginaire.
Relation fondamentale
\[ i^2 = -1 \]
C’est cette relation qui permet de simplifier tous les calculs comportant \(i\).
Exemple 1 — Simplifier une puissance de \(i\)
Calculer \(i^3\).
  • \(i^3=i^2\times i\)
  • donc \(i^3=-1\times i\)
  • ainsi \(\boxed{i^3=-i}\)
Exemple 2 — Développer \((2+i)^2\)
\[ (2+i)^2 = 2^2 + 2\times 2\times i + i^2 \] \[ (2+i)^2 = 4+4i-1 = 3+4i. \] Donc \[ \boxed{(2+i)^2 = 3+4i.} \]
3) Équations du premier degré dans \(\mathbb{C}\)
Forme générale
Une équation du premier degré dans \(\mathbb{C}\) s’écrit \[ az+b=0 \qquad \text{avec } a\neq 0. \] Elle admet une unique solution : \[ \boxed{z=-\frac{b}{a}}. \]
Méthode
  1. Isoler le terme contenant \(z\).
  2. Diviser par le coefficient de \(z\).
  3. Simplifier en forme algébrique si besoin.
Cas simple
Pour \[ 2z+6=0, \] on obtient \[ 2z=-6 \quad \Longrightarrow \quad z=-3. \]
Exemple 3 — Résoudre \(2z+5=0\)
\[ 2z+5=0 \] \[ 2z=-5 \] \[ z=-\frac{5}{2}. \] Donc \[ \boxed{S=\left\{-\frac{5}{2}\right\}}. \]
Exemple 4 — Résoudre \((1-i)z+(3+i)=0\)
\[ (1-i)z+(3+i)=0 \] \[ (1-i)z=-(3+i) \] \[ z=\frac{-(3+i)}{1-i}. \] On rationalise : \[ z=\frac{-(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}. \] Au dénominateur : \[ (1-i)(1+i)=1-i^2=2. \] Au numérateur : \[ -(3+i)(1+i)=-(3+3i+i+i^2)=-(2+4i). \] Donc \[ z=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i. \] Finalement \[ \boxed{S=\{-1-2i\}}. \]
4) Équations du type \(\boldsymbol{z^2=a}\) avec \(a\in\mathbb{R}\)
Cas 1 : \(a>0\)
Les solutions sont réelles : \[ \boxed{z=\pm \sqrt{a}} \]
Cas 2 : \(a=0\)
L’unique solution est \[ \boxed{z=0} \]
Cas 3 : \(a<0\)
Si \(a=-\alpha\) avec \(\alpha>0\), alors \[ \boxed{z=\pm i\sqrt{\alpha}} \]
Équation Solutions
\(z^2=9\) \(-3\) et \(3\)
\(z^2=0\) \(0\)
\(z^2=-16\) \(-4i\) et \(4i\)
Exemple 5 — Résoudre \(z^2=25\)
Comme \(25>0\), \[ z=\pm \sqrt{25}=\pm 5. \] Donc \[ \boxed{S=\{-5;5\}}. \]
Exemple 6 — Résoudre \(z^2=-9\)
Comme \(-9<0\), \[ z^2=-9 = -(9). \] Donc \[ z=\pm i\sqrt{9}=\pm 3i. \] Finalement \[ \boxed{S=\{-3i;3i\}}. \]
Exemple 7 — Résoudre \(z^2+4=0\)
\[ z^2+4=0 \] \[ z^2=-4 \] Donc \[ z=\pm 2i. \] On obtient \[ \boxed{S=\{-2i;2i\}}. \]
5) Équations se ramenant à une factorisation
Principe
Comme dans \(\mathbb{R}\), si une équation peut s’écrire \[ (z-z_1)(z-z_2)=0, \] alors ses solutions sont \[ \boxed{z=z_1 \quad \text{ou} \quad z=z_2}. \]
Exemple 8 — Résoudre \(z^2-5z+6=0\)
On factorise : \[ z^2-5z+6=(z-2)(z-3). \] Donc \[ (z-2)(z-3)=0. \] Ainsi, \[ z=2 \quad \text{ou} \quad z=3. \] Finalement \[ \boxed{S=\{2;3\}}. \]
Exemple 9 — Résoudre \(z^2+1=0\)
\[ z^2+1=0 \] \[ z^2=-1 \] Donc \[ z=\pm i. \] On peut aussi écrire \[ z^2+1=(z-i)(z+i). \] Ainsi \[ \boxed{S=\{-i;i\}}. \]
6) Interprétation géométrique simple
Affixe et point
Au nombre complexe \[ z=a+ib \] on associe le point \(M(a;b)\) du plan complexe.
Lecture des solutions
Résoudre une équation dans \(\mathbb{C}\), c’est déterminer un ou plusieurs points du plan complexe.
Exemple 10 — Lire les solutions de \(z^2=-4\)
Les solutions sont \[ z=-2i \quad \text{et} \quad z=2i. \] Elles correspondent aux points \[ A(0;-2) \quad \text{et} \quad B(0;2). \] Ces deux points sont situés sur l’axe imaginaire.
7) Méthode générale
Étape 1
Identifier le type d’équation :
  • premier degré,
  • \(z^2=a\),
  • équation factorisable.
Étape 2
Isoler \(z\) ou \(z^2\), ou factoriser si possible.
Étape 3
Utiliser correctement \[ i^2=-1. \]
Étape 4
Donner clairement l’ensemble solution \(S\), puis interpréter éventuellement les solutions dans le plan.
À ne jamais oublier : dans une équation du type \(z^2=a\), penser aux deux solutions opposées lorsqu’elles existent.
8) Formulaire express
Situation Résultat
\(az+b=0\), \(a\neq 0\) \(z=-\dfrac{b}{a}\)
\(z^2=a\), \(a>0\) \(z=\pm \sqrt{a}\)
\(z^2=0\) \(z=0\)
\(z^2=-a\), \(a>0\) \(z=\pm i\sqrt{a}\)
\(i^2\) \(-1\)
\(i^3\) \(-i\)
\(i^4\) \(1\)