Cours — Fonction Exponentielle De Base E (Tle STI2D)
Cette page propose un cours de mathématiques en Terminale STI2D sur Fonction Exponentielle De Base E. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler propriétés de l’exponentielle, équations, croissance, modélisation.
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Terminale STI2D
Chapitres
Cours - Fonction exponentielle de base \(e\)
Comprendre la fonction \(x \mapsto e^x\), ses propriétés algébriques,
sa dérivée, ses variations et ses limites.
1. Définition et valeurs de référence
e Le nombre \(e\)
Le nombre \(e\) est un nombre réel irrationnel, avec
\[
e \approx 2{,}718.
\]
La fonction exponentielle de base \(e\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[
f(x)=e^x.
\]
0 Valeurs utiles
\[
e^0=1,\qquad e^1=e,\qquad e^{-x}=\frac{1}{e^x}.
\]
Pour tout réel \(x\), \(e^x\) est strictement positif.
2. Propriétés algébriques
| Propriété | À retenir | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | \(e^{a+b}=e^a e^b\) | \(e^2e^5=e^7\) |
| Quotient | \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) | \(\dfrac{e^8}{e^3}=e^5\) |
| Puissance | \((e^a)^n=e^{an}\) | \((e^{2x})^3=e^{6x}\) |
| Inverse | \(e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}\) | \(e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}\) |
Attention : \(e^{a+b}\neq e^a+e^b\). Avec l'exponentielle, une somme en exposant devient un produit.
3. Dérivée
Fonction de base
\[
(e^x)'=e^x.
\]
L'exponentielle est égale à sa dérivée.
Fonction composée
Si \(u\) est dérivable, alors
\[
(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}.
\]
\[
f(x)=e^{3x-1}
\quad\Rightarrow\quad
f'(x)=3e^{3x-1}.
\]
4. Signe, variations et limites
Signe
Pour tout réel \(x\),
\[
e^x>0.
\]
La courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Variations
Comme \((e^x)'=e^x>0\), la fonction \(x\mapsto e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Limites
\[
\lim_{x\to-\infty}e^x=0,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.
\]
5. Équations et inéquations
Même base
Pour tous réels \(a\) et \(b\),
\[
e^a=e^b \Longleftrightarrow a=b.
\]
\[
e^{2x+1}=e^7
\Longleftrightarrow
2x+1=7
\Longleftrightarrow
x=3.
\]
Comparaison
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre :
\[
a
\[
e^x>1
\Longleftrightarrow
e^x>e^0
\Longleftrightarrow
x>0.
\]
6. Méthodes rapides
A Simplifier une expression
- Repérer les produits, quotients ou puissances.
- Appliquer les règles sur les exposants.
- Réduire l'exposant obtenu.
B Étudier une fonction avec \(e^x\)
- Calculer la dérivée.
- Utiliser \(e^x>0\) pour déterminer le signe.
- Construire le tableau de variations.
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