Exponentielle Complexe Forme Exponentielle
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Exponentielle complexe et forme exponentielle
Euler • module • argument • formes trigonométrique et exponentielle • produits • quotients • puissances.
Essentiel (à savoir absolument)
1 Euler
\[
\mathrm e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
\]
Donc :
\[
z=r\,\mathrm e^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)
\]
2 Module
Si \(z=a+ib\), alors
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}.
\]
Le module est toujours positif ou nul.
3 Argument
Si \(z\neq 0\), alors
\[
z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta).
\]
\(\theta\) n’est pas unique : \(\theta+2k\pi\) convient aussi.
4 Calculs
| Opération | Résultat |
|---|---|
| Produit | \(r_1r_2\,\mathrm e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) |
| Quotient | \(\dfrac{r_1}{r_2}\,\mathrm e^{i(\theta_1-\theta_2)}\) |
| Puissance | \(r^n\mathrm e^{in\theta}\) |
Méthodes rapides
A De \(a+ib\) vers \(r\mathrm e^{i\theta}\)
- Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Repérer le quadrant du point \((a;b)\).
- Trouver un argument \(\theta\).
- Écrire \(z=r\,\mathrm e^{i\theta}\).
\(1+i=\sqrt2\,\mathrm e^{i\pi/4}\)
B De \(r\mathrm e^{i\theta}\) vers \(a+ib\)
- Utiliser Euler.
- Calculer \(r\cos\theta\) et \(r\sin\theta\).
- Conclure : \(a+ib\).
\(2\mathrm e^{i\pi/3}=2(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2})=1+i\sqrt3\)
Pièges à éviter
- Ne jamais écrire la forme exponentielle de \(0\).
- Pour l’argument, il faut tenir compte du signe de la partie réelle et imaginaire.
- Pour un quotient, on soustrait les arguments.
- Pour une puissance, on multiplie l’argument par \(n\).
Rappel important :
- la forme algébrique est pratique pour \(z_1+z_2\),
- la forme exponentielle est pratique pour \(z_1z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\), \(z^n\).
Mini-tests corrigés
Q1 Euler
Donner \(\mathrm e^{i\pi}\).
Corrigé : \(-1\).
Q2 Module
Calculer \(|1-i|\).
Corrigé : \(\sqrt2\).
Q3 Argument
Donner un argument de \(i\).
Corrigé : \(\pi/2\).
Q4 Conversion
Développer \(2\mathrm e^{i\pi/2}\).
Corrigé : \(2i\).
Q5 Produit
Calculer \(\mathrm e^{i\pi/3}\mathrm e^{i\pi/6}\).
Corrigé : \(\mathrm e^{i\pi/2}\).
Q6 Puissance
Calculer \((\mathrm e^{i\pi/4})^8\).
Corrigé : \(\mathrm e^{i2\pi}=1\).
Checklist avant contrôle
- Je connais \(\mathrm e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
- Je sais calculer un module.
- Je sais déterminer un argument simple.
- Je sais convertir une écriture algébrique en écriture exponentielle.
- Je sais multiplier, diviser et élever à une puissance en forme exponentielle.