1. Pour \(z_1=3+4i\)

\[ \Re(z_1)=3,\qquad \Im(z_1)=4. \]

Son module vaut : \[ |z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5. \]

2. Pour \(z_2=-2+i\)

\[ \Re(z_2)=-2,\qquad \Im(z_2)=1. \]

\[ |z_2|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5. \]

3. Pour \(z_3=-5i\)

\[ \Re(z_3)=0,\qquad \Im(z_3)=-5. \]

\[ |z_3|=\sqrt{0^2+(-5)^2}=5. \]

4. Pour \(z_4=\sqrt3-i\)

\[ \Re(z_4)=\sqrt3,\qquad \Im(z_4)=-1. \]

\[ |z_4|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2. \]

On repère à chaque fois la position du point dans le plan complexe.

1. \(z_1=1+i\)

Le point est dans le premier quadrant et l’angle de référence est \(\frac{\pi}{4}\). Donc un argument est : \[ \frac{\pi}{4}. \]

2. \(z_2=-1+i\)

Le point est dans le deuxième quadrant, donc un argument est : \[ \frac{3\pi}{4}. \]

3. \(z_3=-1-i\)

Le point est dans le troisième quadrant, donc un argument est : \[ \frac{5\pi}{4} \] ou encore \[ -\frac{3\pi}{4}. \]

4. \(z_4=1-i\)

Le point est dans le quatrième quadrant, donc un argument est : \[ -\frac{\pi}{4}. \]

5. \(z_5=2i\)

Le point est sur l’axe imaginaire positif. Un argument est : \[ \frac{\pi}{2}. \]

6. \(z_6=-3\)

Le point est sur l’axe réel négatif. Un argument est : \[ \pi. \]

1. \(z_1=1+i\)

\[ |z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \] Un argument est \(\frac{\pi}{4}\), donc : \[ z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \] et \[ z_1=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}. \]

2. \(z_2=-\sqrt3+i\)

\[ |z_2|=\sqrt{3+1}=2. \] Le point est dans le deuxième quadrant, avec un argument \(\frac{5\pi}{6}\). Donc : \[ z_2=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right) \] et \[ z_2=2e^{i\frac{5\pi}{6}}. \]

3. \(z_3=-2i\)

\[ |z_3|=2. \] Un argument est \(-\frac{\pi}{2}\). Donc : \[ z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \] et \[ z_3=2e^{-i\frac{\pi}{2}}. \]

4. \(z_4=2-2i\)

\[ |z_4|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2. \] Un argument est \(-\frac{\pi}{4}\). Donc : \[ z_4=2\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \] et \[ z_4=2\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}. \]

1. \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}\)

\[ z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) =1+i\sqrt3. \]

2. \(z_2=4e^{-i\frac{\pi}{6}}\)

\[ z_2=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) =4\left(\frac{\sqrt3}{2}-i\frac12\right) =2\sqrt3-2i. \]

3. \(z_3=3e^{i\pi}\)

\[ z_3=3(\cos\pi+i\sin\pi)=3(-1+0i)=-3. \]

4. \(z_4=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\)

\[ z_4=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right) =1+i. \]

On utilise : \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]

\[ e^{i0}=\cos 0+i\sin 0=1 \]

\[ e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i \]

\[ e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1 \]

\[ e^{i2\pi}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1 \]

\[ e^{i\frac{3\pi}{2}}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-i \]

1. Produit

On multiplie les modules et on additionne les arguments : \[ z_1z_2=2\times 3 \, e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)}. \]

\[ z_1z_2=6e^{i\left(\frac{2\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}\right)} =6e^{i\frac{5\pi}{12}}. \]

2. Quotient

On divise les modules et on soustrait les arguments : \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}e^{i\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)}. \]

\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}e^{i\left(\frac{2\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}\right)} =\frac{2}{3}e^{-i\frac{\pi}{12}}. \]

On utilise : \[ (re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}. \]

1. \(z^2\)

\[ z^2=(\sqrt2)^2e^{i\frac{\pi}{2}}=2e^{i\frac{\pi}{2}}=2i. \]

2. \(z^4\)

\[ z^4=(\sqrt2)^4e^{i\pi}=4(-1)=-4. \]

3. \(z^8\)

\[ z^8=(\sqrt2)^8e^{i2\pi}=16. \]

On utilise : \[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta). \]

1.

\[ \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^3 =\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6} =\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} =i. \]

2.

\[ \left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^2 =\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} =i. \]

3.

\[ \left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)^5 =\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3} =\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \]

1. \(z^2=4\)

On écrit \[ 4=4e^{i0}. \] Les solutions sont : \[ z=2e^{i\frac{0+2k\pi}{2}} \qquad (k=0,1). \]

Donc : \[ z_1=2,\qquad z_2=-2. \]

2. \(z^2=-9\)

On écrit \[ -9=9e^{i\pi}. \] Les solutions sont : \[ z=3e^{i\frac{\pi+2k\pi}{2}} \qquad (k=0,1). \]

Donc : \[ z_1=3e^{i\frac{\pi}{2}}=3i, \qquad z_2=3e^{i\frac{3\pi}{2}}=-3i. \]

3. \(z^2=4e^{i\frac{\pi}{3}}\)

Les solutions sont : \[ z=2e^{i\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{2}} \qquad (k=0,1). \]

Donc : \[ z_1=2e^{i\frac{\pi}{6}}, \qquad z_2=2e^{i\frac{7\pi}{6}}. \]

1. \(z^3=8\)

On écrit : \[ 8=8e^{i0}. \] Les solutions sont : \[ z_k=2e^{i\frac{2k\pi}{3}} \qquad \text{pour } k=0,1,2. \]

Donc : \[ z_0=2, \qquad z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}, \qquad z_2=2e^{i\frac{4\pi}{3}}. \]

2. \(z^3=1\)

On écrit : \[ 1=e^{i0}. \] Les solutions sont : \[ z_k=e^{i\frac{2k\pi}{3}} \qquad \text{pour } k=0,1,2. \]

Donc : \[ z_0=1, \qquad z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}, \qquad z_2=e^{i\frac{4\pi}{3}}. \]

1. Module

\[ |z|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2. \]

2. Argument

Le point est dans le troisième quadrant. On reconnaît \[ \cos\theta=-\frac12, \qquad \sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}. \] Un argument est donc : \[ \theta=\frac{4\pi}{3}. \]

3. Forme exponentielle

\[ z=2e^{i\frac{4\pi}{3}}. \]

4. Calcul de \(z^6\)

\[ z^6=2^6e^{i6\times \frac{4\pi}{3}} =64e^{i8\pi}. \]

Or \[ e^{i8\pi}=1. \] Donc : \[ z^6=64. \]

1. Comparaison des modules

Comme \(\left|e^{i\frac{\pi}{3}}\right|=1\), on a : \[ |z'|=\left|e^{i\frac{\pi}{3}}z\right| =\left|e^{i\frac{\pi}{3}}\right||z| =|z|. \]

Le module ne change donc pas.

2. Comparaison des arguments

Multiplier par \(e^{i\frac{\pi}{3}}\), c’est ajouter \(\frac{\pi}{3}\) à l’argument : \[ \arg(z')=\arg(z)+\frac{\pi}{3}\pmod{2\pi}. \]

3. Interprétation géométrique

La transformation est une rotation de centre \(O\) et d’angle \[ \frac{\pi}{3}. \]

1. Faux. Le nombre \(0\) n’a pas d’argument.

2. Vrai. Dans l’écriture \(z=re^{i\theta}\), le réel \(r\) est précisément le module de \(z\).

3. Faux. \[ e^{i\pi}=-1. \]

4. Vrai. C’est la règle du produit en forme exponentielle.

5. Vrai. Multiplier par \(e^{i\theta}\) conserve le module et ajoute \(\theta\) à l’argument : c’est une rotation de centre \(O\).

1. Module

\[ |z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2. \]

2. Argument

Le point est dans le premier quadrant. On reconnaît \[ \cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\theta=\frac12. \] Donc un argument est : \[ \theta=\frac{\pi}{6}. \]

3. Forme exponentielle

\[ z=2e^{i\frac{\pi}{6}}. \]

4. Calcul de \(z^3\)

\[ z^3=2^3e^{i\frac{3\pi}{6}}=8e^{i\frac{\pi}{2}}. \]

5. Forme algébrique

\[ z^3=8e^{i\frac{\pi}{2}}=8i. \]

1. Formes exponentielles

Pour \(z_1=1+i\) : \[ |z_1|=\sqrt2,\qquad \arg(z_1)=\frac{\pi}{4}. \] Donc : \[ z_1=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}. \]

Pour \(z_2=1-i\) : \[ |z_2|=\sqrt2,\qquad \arg(z_2)=-\frac{\pi}{4}. \] Donc : \[ z_2=\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}. \]

2. Produit

\[ z_1z_2=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\times \sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}} =2e^{i0}=2. \]

3. Quotient

\[ \frac{z_1}{z_2} =\frac{\sqrt2}{\sqrt2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)} =e^{i\frac{\pi}{2}}. \]

4. Forme algébrique

\[ e^{i\frac{\pi}{2}}=i. \]

Donc : \[ \frac{z_1}{z_2}=i. \]

1.

\[ \left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)\left(5e^{-i\frac{\pi}{6}}\right) =10e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)} =10e^{i\frac{\pi}{6}}. \]

Sous forme algébrique : \[ 10e^{i\frac{\pi}{6}} =10\left(\frac{\sqrt3}{2}+i\frac12\right) =5\sqrt3+5i. \]

2.

\[ \frac{6e^{i\frac{5\pi}{4}}}{3e^{i\frac{\pi}{4}}} =2e^{i\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)} =2e^{i\pi}=-2. \]

3.

\[ \left(3e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^2=9e^{-i\pi}. \]

Or \(e^{-i\pi}=-1\), donc : \[ 9e^{-i\pi}=-9. \]

1. Numérateur

\[ 1+i\sqrt3 \] a pour module \[ \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2 \] et pour argument \(\frac{\pi}{3}\). Donc : \[ 1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}{3}}. \]

2. Dénominateur

\[ 1-i \] a pour module \(\sqrt2\) et pour argument \(-\frac{\pi}{4}\), donc : \[ 1-i=\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}. \]

3. Forme exponentielle de \(z\)

\[ z=\frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}} =\sqrt2\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)} =\sqrt2\,e^{i\frac{7\pi}{12}}. \]

4. Forme algébrique

On peut aussi rationaliser : \[ z=\frac{(1+i\sqrt3)(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{1+i+i\sqrt3-\sqrt3}{2}. \]

Ainsi : \[ z=\frac{1-\sqrt3}{2}+i\frac{1+\sqrt3}{2}. \]

1. Racines de \(4i\)

On écrit \[ 4i=4e^{i\frac{\pi}{2}}. \] Les racines carrées ont pour module \(2\) et pour arguments \[ \frac{\pi}{4}\quad \text{et}\quad \frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}. \]

Donc les solutions sont : \[ z_1=2e^{i\frac{\pi}{4}},\qquad z_2=2e^{i\frac{5\pi}{4}}. \]

2. Racines de \(-4i\)

On écrit \[ -4i=4e^{-i\frac{\pi}{2}}. \] Les racines ont pour module \(2\) et pour arguments \[ -\frac{\pi}{4}\quad \text{et}\quad \frac{3\pi}{4}. \]

Donc : \[ z_1=2e^{-i\frac{\pi}{4}},\qquad z_2=2e^{i\frac{3\pi}{4}}. \]

3. Racines de \(8e^{i\frac{\pi}{2}}\)

Le module des racines vaut \(\sqrt8=2\sqrt2\). Les arguments sont \[ \frac{\pi}{4}\quad \text{et}\quad \frac{5\pi}{4}. \]

Donc : \[ z_1=2\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}},\qquad z_2=2\sqrt2\,e^{i\frac{5\pi}{4}}. \]

On utilise la périodicité : \[ e^{i(\theta+2\pi)}=e^{i\theta}. \]

1.

\[ \frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6} \] donc \[ e^{i\frac{13\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{6}}. \]

2.

\[ -\frac{7\pi}{4}=-2\pi+\frac{\pi}{4} \] donc \[ e^{-i\frac{7\pi}{4}}=e^{i\frac{\pi}{4}}. \]

3.

\[ \frac{25\pi}{3}=8\pi+\frac{\pi}{3} \] donc \[ e^{i\frac{25\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{3}}. \]

4.

\[ \frac{17\pi}{2}=8\pi+\frac{\pi}{2} \] donc \[ e^{i\frac{17\pi}{2}}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i. \]

1. Forme algébrique

Elle est déjà donnée : \[ z=-\sqrt3+i. \]

2. Module

\[ |z|=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2. \]

3. Argument

Le point est dans le deuxième quadrant. On reconnaît : \[ \cos\theta=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\theta=\frac12. \] Donc un argument est : \[ \theta=\frac{5\pi}{6}. \]

4. Forme exponentielle

\[ z=2e^{i\frac{5\pi}{6}}. \]

5. Calcul de \(z^4\)

\[ z^4=2^4e^{i\frac{20\pi}{6}}=16e^{i\frac{10\pi}{3}}. \]

Or \[ \frac{10\pi}{3}=2\pi+\frac{4\pi}{3}, \] donc \[ z^4=16e^{i\frac{4\pi}{3}}. \]

6. Forme algébrique

\[ z^4=16\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right) =16\left(-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right). \]

Donc \[ z^4=-8-8\sqrt3\,i. \]