Exponentielle Complexe Forme Exponentielle
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Cours — Exponentielle complexe et forme exponentielle
Formule d’Euler • module • argument • écriture trigonométrique • forme exponentielle • conversions • calculs sur les complexes.
Objectifs Euler Module / argument Forme trigonométrique Forme exponentielle Conversions Calculs Puissances Formulaire
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
  • Connaître la formule d’Euler : \(\mathrm e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
  • Passer de la forme algébrique \(z=a+ib\) à la forme trigonométrique puis exponentielle.
  • Déterminer le module \(|z|\) et un argument de \(z\).
  • Effectuer des produits, quotients et puissances de complexes en forme exponentielle.
  • Interpréter géométriquement multiplication et division par un complexe non nul.
Pièges classiques
  • L’argument n’est pas unique : on travaille modulo \(2\pi\).
  • Ne pas confondre \(|a+ib|\) et \(a+b\).
  • \(\arg(z_1+z_2)\) n’a pas de formule simple.
  • La forme exponentielle n’est définie que pour \(z\neq 0\).
Dans ce chapitre, on cherche à écrire un complexe sous la forme \[ z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)=r\,\mathrm e^{i\theta} \] avec \(r>0\) et \(\theta\in\mathbb{R}\).
2) Formule d’Euler
Énoncé fondamental
Pour tout réel \(\theta\), \[ \mathrm e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]
Cette formule permet de relier trigonométrie et exponentielle complexe.
Conséquences immédiates
\[ \cos\theta=\frac{\mathrm e^{i\theta}+\mathrm e^{-i\theta}}{2} \] \[ \sin\theta=\frac{\mathrm e^{i\theta}-\mathrm e^{-i\theta}}{2i} \]
Exemple — valeurs remarquables
\[ \mathrm e^{i0}=1,\qquad \mathrm e^{i\pi}=-1,\qquad \mathrm e^{i\pi/2}=i,\qquad \mathrm e^{-i\pi/2}=-i. \]
3) Module et argument d’un complexe
Module
Si \(z=a+ib\), alors \[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \]
Géométriquement, \(|z|\) est la distance entre l’origine et le point \(M(a;b)\).
Argument
Si \(z\neq 0\), un argument de \(z\) est un réel \(\theta\) tel que \[ z=|z|\big(\cos\theta+i\sin\theta\big). \]
Tous les arguments de \(z\) sont de la forme \(\theta+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\).
Exemple — \(z=1+i\)
\[ |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \] Comme le point est dans le premier quadrant et que \(\tan\theta=1\), on peut prendre \[ \theta=\frac{\pi}{4}. \] Donc \[ 1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,\mathrm e^{i\pi/4}. \]
4) Forme trigonométrique
Définition
Tout complexe non nul peut s’écrire \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \] avec \(r=|z|>0\).
Méthode depuis \(a+ib\)
  1. Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
  2. Déterminer le quadrant du point \(M(a;b)\).
  3. Trouver un angle \(\theta\) adapté.
  4. Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Valeurs remarquables utiles
\(\theta\)\(\cos\theta\)\(\sin\theta\)
\(0\)\(1\)\(0\)
\(\pi/6\)\(\sqrt3/2\)\(1/2\)
\(\pi/4\)\(\sqrt2/2\)\(\sqrt2/2\)
\(\pi/3\)\(1/2\)\(\sqrt3/2\)
\(\pi/2\)\(0\)\(1\)
5) Forme exponentielle
Définition
Si \(z\neq 0\), alors \[ z=r\,\mathrm e^{i\theta} \] avec \(r=|z|>0\) et \(\theta\) un argument de \(z\).
Exemples directs
\[ 1=\mathrm e^{i0} \qquad -1=\mathrm e^{i\pi} \] \[ i=\mathrm e^{i\pi/2} \qquad -i=\mathrm e^{-i\pi/2} \]
Exemple classique
Pour \(z=-1+i\), \[ |z|=\sqrt2 \] et un argument est \(\dfrac{3\pi}{4}\). Donc \[ z=\sqrt2\,\mathrm e^{i3\pi/4}. \]
6) Passer d’une forme à l’autre
De la forme algébrique vers l’exponentielle
Si \(z=a+ib\) :
  1. Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
  2. Chercher \(\theta\) à partir de \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
  3. Conclure : \(z=r\,\mathrm e^{i\theta}\).
De l’exponentielle vers l’algébrique
Si \(z=r\,\mathrm e^{i\theta}\), alors avec Euler : \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cos\theta+i\,r\sin\theta. \]
Exemple — développer \(2\mathrm e^{i\pi/3}\)
\[ 2\mathrm e^{i\pi/3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=1+i\sqrt3. \]
7) Calculs en forme exponentielle
Produit
\[ \big(r_1\mathrm e^{i\theta_1}\big)\big(r_2\mathrm e^{i\theta_2}\big) =r_1r_2\,\mathrm e^{i(\theta_1+\theta_2)}. \]
Quotient
\[ \frac{r_1\mathrm e^{i\theta_1}}{r_2\mathrm e^{i\theta_2}} =\frac{r_1}{r_2}\,\mathrm e^{i(\theta_1-\theta_2)} \qquad (r_2\neq 0). \]
Exemple — produit
\[ \big(2\mathrm e^{i\pi/6}\big)\big(3\mathrm e^{i\pi/3}\big) =6\mathrm e^{i(\pi/6+\pi/3)} =6\mathrm e^{i\pi/2}. \]
Exemple — quotient
\[ \frac{4\mathrm e^{i5\pi/6}}{2\mathrm e^{i\pi/3}} =2\mathrm e^{i(5\pi/6-\pi/3)} =2\mathrm e^{i\pi/2}. \]
8) Puissances et formule de Moivre
Formule
Pour tout entier naturel \(n\), \[ \big(r\,\mathrm e^{i\theta}\big)^n=r^n\mathrm e^{in\theta}. \]
Exemple — calcul de \((1+i)^4\)
On sait que \[ 1+i=\sqrt2\,\mathrm e^{i\pi/4}. \] Donc \[ (1+i)^4=(\sqrt2)^4\mathrm e^{i\pi}=4(-1)=-4. \]
Pour les racines \(n\)-ièmes d’un complexe, on répartit les arguments sur le cercle ; c’est souvent traité juste après ce chapitre.
9) Formulaire final
À connaître par cœur
\[ \mathrm e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \] \[ z=a+ib,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2} \] \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,\mathrm e^{i\theta} \]
Règles de calcul
\[ \mathrm e^{i\theta_1}\mathrm e^{i\theta_2}=\mathrm e^{i(\theta_1+\theta_2)} \] \[ \frac{\mathrm e^{i\theta_1}}{\mathrm e^{i\theta_2}}=\mathrm e^{i(\theta_1-\theta_2)} \] \[ \big(r\,\mathrm e^{i\theta}\big)^n=r^n\mathrm e^{in\theta} \]
  • Un complexe non nul possède une infinité d’arguments.
  • La forme exponentielle est la plus efficace pour multiplier, diviser et élever à une puissance.
  • La forme algébrique est pratique pour additionner ou soustraire.