Quiz — Exponentielle complexe et forme exponentielle
Quiz — Exponentielle complexe et forme exponentielle
20 questions avancées : Euler, modules, arguments, forme exponentielle, Moivre, racines complexes, géométrie et calculs exacts.
Q1. La formule d’Euler est :
Non vérifié
Indice
C’est la relation fondamentale entre exponentielle complexe et trigonométrie.
Correction
La formule correcte est \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
Q2. Le module de \(z=-3+3i\) est :
Non vérifié
Indice
Utiliser \(|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Correction
\(|z|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\).
Q3. Un argument de \(-1-i\) est :
Non vérifié
Indice
Le point est dans le troisième quadrant.
Correction
Un argument possible est \(-\frac{3\pi}{4}\), ou encore \(\frac{5\pi}{4}\).
Q4. La forme exponentielle de \(1-i\sqrt3\) est :
Non vérifié
Indice
Module 2, argument dans le quatrième quadrant.
Correction
\(|z|=2\), et comme \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}\), on a \(\theta=-\frac{\pi}{3}\).
Q5. Si \(z_1=2e^{i\pi/6}\) et \(z_2=3e^{-i\pi/3}\), alors \(z_1z_2=\)
Non vérifié
Indice
Multiplier les modules et additionner les arguments.
Correction
\(z_1z_2=2\times3\,e^{i(\pi/6-\pi/3)}=6e^{-i\pi/6}\).
Q6. Si \(z=\sqrt2e^{i\pi/4}\), alors \(z^4=\)
Non vérifié
Indice
Utiliser \((re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\).
Correction
\(z^4=(\sqrt2)^4e^{i\pi}=4(-1)=-4\).
Q7. Le quotient \(\dfrac{4e^{i5\pi/6}}{2e^{i\pi/3}}\) vaut :
Non vérifié
Indice
Diviser les modules et soustraire les arguments.
Correction
\(\frac{4}{2}e^{i(5\pi/6-\pi/3)}=2e^{i\pi/2}\).
Q8. La formule de Moivre est :
Non vérifié
Indice
On multiplie l’angle par \(n\).
Correction
C’est exactement la formule de Moivre.
Q9. Les solutions de \(z^3=1\) sont :
Non vérifié
Indice
Une équation \(z^n=a\) admet en général \(n\) racines complexes distinctes si \(a\neq0\).
Correction
Les racines cubiques de l’unité sont au nombre de 3.
Q10. Multiplier un complexe par \(2e^{i\pi/3}\) correspond géométriquement à :
Non vérifié
Indice
Le module agit sur les longueurs, l’argument agit sur les angles.
Correction
Multiplier par \(re^{i\theta}\) = homothétie de rapport \(r\) et rotation d’angle \(\theta\).
Q11. Calculer \(e^{i\pi}\)
Non vérifié
Indice
Valeur remarquable.
Correction
\(e^{i\pi}=-1\).
Q12. Calculer \(e^{i\pi/2}\)
Non vérifié
Indice
Point du cercle trigonométrique en haut.
Correction
\(e^{i\pi/2}=i\).
Q13. Module de \(1+i\)
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sqrt{1^2+1^2}\).
Correction
\(|1+i|=\sqrt2\).
Q14. Donner un argument de \(\sqrt3+i\)
Non vérifié
Indice
Premier quadrant, angle remarquable.
Correction
Un argument est \(\frac{\pi}{6}\).
Q15. Mettre \(2e^{i\pi/3}\) sous forme algébrique
Non vérifié
Indice
Remplacer \(e^{i\theta}\) par \(\cos\theta+i\sin\theta\).
Correction
\(2e^{i\pi/3}=2(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2})=1+i\sqrt3\).
Q16. Calculer \((\sqrt2e^{i\pi/4})^2\)
Non vérifié
Indice
Carré du module et doublement de l’argument.
Correction
\((\sqrt2)^2e^{i\pi/2}=2i\).
Q17. Si \(z=2e^{i4\pi/3}\), calculer \(z^6\)
Non vérifié
Indice
Pense à \(e^{i8\pi}=1\).
Correction
\(z^6=2^6e^{i8\pi}=64\).
Q18. Donner une racine de \(z^2=4e^{i\pi/3}\)
Non vérifié
Indice
Prendre la racine du module et diviser l’argument par 2.
Correction
Une racine est \(2e^{i\pi/6}\).
Q19. Simplifier \(e^{i3\pi/2}\)
Non vérifié
Indice
Valeur remarquable sur l’axe imaginaire négatif.
Correction
\(e^{i3\pi/2}=-i\).
Q20. Calculer \((\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^3\)
Non vérifié
Indice
Utiliser Moivre.
Correction
\(\cos\pi+i\sin\pi=-1\).