Exercices corrigés — Équations Dans ℂ (Tle STI2D)

(a) \(\boxed{i^2=-1}\).

(b) \(i^3=i^2 imes i=-1 imes i=\boxed{-i}\).

(c) \(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=\boxed{1}\).

(d) \(i^5=i^4 imes i=1 imes i=\boxed{i}\).

(a) \((1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=\boxed{2i}\).

(b) \((2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=\boxed{3+4i}\).

(c) \((3-i)^2=9-6i+i^2=9-6i-1=\boxed{8-6i}\).

(d) \((1-2i)^2=1-4i+4i^2=1-4i-4=\boxed{-3-4i}\).

(a) \(z+5=0\Rightarrow \boxed{z=-5}\).

(b) \(2z-8=0\Rightarrow 2z=8\Rightarrow \boxed{z=4}\).

(c) \(z+3i=0\Rightarrow \boxed{z=-3i}\).

(d) \(4z+2i=0\Rightarrow 4z=-2i\Rightarrow \boxed{z=-rac{i}{2}}\).

(a) \[ (1-i)z+2=0 \Rightarrow (1-i)z=-2 \Rightarrow z=rac{-2}{1-i}. \] On rationalise : \[ z=rac{-2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=rac{-2-2i}{2}=\boxed{-1-i}. \]

(b) \[ (1+i)z-4=0 \Rightarrow (1+i)z=4 \Rightarrow z=rac{4}{1+i}. \] Rationalisation : \[ z=rac{4(1-i)}{(1+i)(1-i)}=rac{4-4i}{2}=\boxed{2-2i}. \]

(c) \[ (2-i)z=-(1+i) \Rightarrow z=rac{-(1+i)}{2-i}. \] On multiplie par \(2+i\) : \[ z=rac{-(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=rac{-(1+3i)}{5}=\boxed{-rac15-rac35 i}. \]

(d) \[ z=rac{2-i}{3+i}. \] On multiplie par \(3-i\) : \[ z=rac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=rac{5-5i}{10}=\boxed{rac12-rac12 i}. \]

(a) \(z=\pm1\), donc \(\boxed{S=\{-1;1\}}\).

(b) \(z=\pm2\), donc \(\boxed{S=\{-2;2\}}\).

(c) \(z=\pm6\), donc \(\boxed{S=\{-6;6\}}\).

(d) \(z=\pm10\), donc \(\boxed{S=\{-10;10\}}\).

(a) \(\boxed{S=\{-i;i\}}\).

(b) \(\boxed{S=\{-2i;2i\}}\).

(c) \(\boxed{S=\{-5i;5i\}}\).

(d) \(\boxed{S=\{-7i;7i\}}\).

(a) \(z^2=-9\Rightarrow z=\pm3i\), donc \(\boxed{S=\{-3i;3i\}}\).

(b) \(z^2=25\Rightarrow z=\pm5\), donc \(\boxed{S=\{-5;5\}}\).

(c) \(z^2=-16\Rightarrow z=\pm4i\), donc \(\boxed{S=\{-4i;4i\}}\).

(d) \(z^2=1\Rightarrow z=\pm1\), donc \(\boxed{S=\{-1;1\}}\).

(a) \(z=1\) ou \(z=-4\), donc \(\boxed{S=\{-4;1\}}\).

(b) \(z=2i\) ou \(z=-i\), donc \(\boxed{S=\{-i;2i\}}\).

(c) \(z=-3\) ou \(z=5\), donc \(\boxed{S=\{-3;5\}}\).

(d) \(z=-i\) ou \(z=i\), donc \(\boxed{S=\{-i;i\}}\).

(a) \(z^2-3z+2=(z-1)(z-2)\), donc \(\boxed{S=\{1;2\}}\).

(b) \(z^2-7z+12=(z-3)(z-4)\), donc \(\boxed{S=\{3;4\}}\).

(c) \(z^2-4=(z-2)(z+2)\), donc \(\boxed{S=\{-2;2\}}\).

(d) \(z^2+1=0\Rightarrow \boxed{S=\{-i;i\}}\).

(a) \(z^2=0\Rightarrow \boxed{z=0}\).

(b) \(z^2+2z=z(z+2)\), donc \(z=0\) ou \(z=-2\), ainsi \(\boxed{S=\{-2;0\}}\).

(c) \(z=0\) ou \(z=3\), donc \(\boxed{S=\{0;3\}}\).

(d) \(z=0\) ou \(z=-i\), donc \(\boxed{S=\{-i;0\}}\).

(a) \((2i)^2+4=4i^2+4=-4+4=0\). Oui, \(\boxed{2i}\) est solution.

(b) \(2(-3)+6=-6+6=0\). Oui, \(\boxed{-3}\) est solution.

(c) \(i^2-1=-1-1=-2 eq 0\). Non, \(\boxed{i}\) n’est pas solution.

(d) \((1-1)(1+2)=0 imes3=0\). Oui, \(\boxed{1}\) est solution.

(a) \(z=3+2i\Rightarrow \boxed{(3;2)}\).

(b) \(z=-4=-4+0i\Rightarrow \boxed{(-4;0)}\).

(c) \(z=-2i=0-2i\Rightarrow \boxed{(0;-2)}\).

(d) \(z=-1+i\Rightarrow \boxed{(-1;1)}\).

(a) Solutions : \(-2\) et \(2\). Points : \(\boxed{(-2;0)}\) et \(\boxed{(2;0)}\).

(b) Solutions : \(-2i\) et \(2i\). Points : \(\boxed{(0;-2)}\) et \(\boxed{(0;2)}\).

(c) Solutions : \(-3\) et \(3\). Points : \(\boxed{(-3;0)}\) et \(\boxed{(3;0)}\).

(d) Solutions : \(-i\) et \(i\). Points : \(\boxed{(0;-1)}\) et \(\boxed{(0;1)}\).

(a) \(5z=-10\Rightarrow \boxed{z=-2}\).

(b) \(6z=3i\Rightarrow \boxed{z=rac{i}{2}}\).

(c) \(\boxed{z=2-3i}\).

(d) \(7z=-14i\Rightarrow \boxed{z=-2i}\).

(a) \(2z=4\Rightarrow \boxed{z=2}\).

(b) \(3z=4+3i\Rightarrow \boxed{z=rac43+i}\).

(c) \(z^2=-4\Rightarrow \boxed{z=\pm2i}\).

(d) \(z^2=-1\Rightarrow \boxed{z=\pm i}\).

(a) Oui, car \(i^2=-1\), donc \(i\) et \(-i\) conviennent.

(b) Non, car \(z^2-4=0\Rightarrow z^2=4\), donc les solutions sont \(\pm 2\), pas \(\pm 2i\).

(c) Oui, car \(z^2=-9\Rightarrow z=\pm3i\).

(d) Oui, car \(z^2=25\Rightarrow z=\pm5\).

(a) \(z^2=0\) admet une seule solution : \(\boxed{0}\).

(b) \(z^2=16\) admet deux solutions : \(\boxed{-4}\) et \(\boxed{4}\).

(c) \(z^2=-16\) admet deux solutions : \(\boxed{-4i}\) et \(\boxed{4i}\).

(d) La seule solution de \(z^2=0\) est \(\boxed{z=0}\).

(a) \(z^2-2z=z(z-2)\), donc \(\boxed{S=\{0;2\}}\).

(b) \(z^2+2z+1=(z+1)^2\), donc \(\boxed{S=\{-1\}}\).

(c) \(z^2+4z+4=(z+2)^2\), donc \(\boxed{S=\{-2\}}\).

(d) \(z^2=-4\), donc \(\boxed{S=\{-2i;2i\}}\).

(a) Dans \(\mathbb{R}\), le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif, donc \(z^2=-4\) n’a pas de solution réelle.

(b) Dans \(\mathbb{C}\), on a \(i^2=-1\), donc \((2i)^2=-4\), ce qui donne des solutions complexes.

(c) \(z^2=4\) a des solutions réelles \(\pm2\), alors que \(z^2=-4\) a des solutions imaginaires pures \(\pm2i\).

(d) Les solutions de \(z^2=4\) sont sur l’axe réel ; celles de \(z^2=-4\) sont sur l’axe imaginaire.

(a) \(z=\pm8\). Ce sont deux solutions réelles.

(b) \(z=\pm8i\). Ce sont deux solutions imaginaires pures.

(c) \(z^2=-64\Rightarrow z=\pm8i\). Deux solutions imaginaires pures.

(d) \(z^2=64\Rightarrow z=\pm8\). Deux solutions réelles.

Conclusion : \(\boxed{z^2=a}\) avec \(a>0\) donne des solutions réelles, tandis que \(\boxed{z^2=a}\) avec \(a<0\) donne des solutions imaginaires pures.