Quiz — Équations dans \(\mathbb{C}\)
Quiz — Équations dans \(\mathbb{C}\)
20 questions : calculs avec \(i\), équations du premier degré, équations du type \(z^2=a\), factorisation et lecture géométrique.
Q1. La valeur de \(i^2\) est :
Non vérifié
Indice
C’est la relation fondamentale des nombres complexes.
Correction
Par définition, \(\boxed{i^2=-1}\).
Q2. La valeur de \(i^3\) est :
Non vérifié
Indice
Écrire \(i^3=i^2\times i\).
Correction
\(i^3=i^2\times i=-1\times i=\boxed{-i}\).
Q3. La valeur de \(i^4\) est :
Non vérifié
Indice
Utiliser \(i^4=(i^2)^2\).
Correction
\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=\boxed{1}\).
Q4. La solution de \(2z+8=0\) est :
Non vérifié
Indice
Isoler \(z\).
Correction
\(2z=-8\), donc \(\boxed{z=-4}\).
Q5. La solution de \(z-3i=0\) est :
Non vérifié
Indice
Passer \(3i\) de l’autre côté.
Correction
\(z-3i=0 \Rightarrow \boxed{z=3i}\).
Q6. La solution de \(3z-(4-2i)=0\) est :
Non vérifié
Indice
Écrire \(3z=4-2i\), puis diviser par 3.
Correction
\(3z=4-2i\Rightarrow z=\dfrac{4-2i}{3}=\boxed{\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}i}\).
Q7. Les solutions de \(z^2=9\) sont :
Non vérifié
Indice
Quand le second membre est positif, les solutions sont réelles.
Correction
\(z^2=9\Rightarrow z=\pm\sqrt{9}=\boxed{\pm 3}\).
Q8. Les solutions de \(z^2=-9\) sont :
Non vérifié
Indice
Le second membre est négatif.
Correction
\(z^2=-9 \Rightarrow z=\pm i\sqrt{9}=\boxed{\pm 3i}\).
Q9. Résoudre \(z^2+4=0\).
Non vérifié
Indice
Commencer par écrire \(z^2=-4\).
Correction
\(z^2+4=0\Rightarrow z^2=-4\Rightarrow \boxed{z=\pm 2i}\).
Q10. Résoudre \(z^2-16=0\).
Non vérifié
Indice
Isoler \(z^2\).
Correction
\(z^2=16\Rightarrow \boxed{z=\pm 4}\).
Q11. L’équation \((z-2)(z+3)=0\) a pour solutions :
Non vérifié
Indice
Utiliser la propriété du produit nul.
Correction
\((z-2)(z+3)=0 \Rightarrow z=2 \text{ ou } z=-3\).
Q12. Le point associé à \(z=2-3i\) est :
Non vérifié
Indice
À \(a+ib\), on associe le point \((a;b)\).
Correction
Le complexe \(2-3i\) a pour partie réelle 2 et partie imaginaire \(-3\), donc le point est \(\boxed{(2;-3)}\).
Q13. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
Non vérifié
Indice
Vérifier chaque affirmation une par une.
Correction
Les trois premières sont vraies. La dernière est fausse car \(z^2=-4\) admet les solutions \(\pm 2i\).
Q14. Les solutions de \(z^2=-16\) sont :
Non vérifié
Indice
Si \(z^2=-a\) avec \(a>0\), alors \(z=\pm i\sqrt a\).
Correction
\(z^2=-16\Rightarrow z=\pm 4i\). Les bonnes réponses sont donc \(\boxed{4i \text{ et } -4i}\).
Q15. Parmi les nombres suivants, lesquels vérifient \(z^2=1\) ?
Non vérifié
Indice
Tester les carrés.
Correction
On a \(1^2=1\) et \((-1)^2=1\). En revanche \(i^2=-1\) et \((-i)^2=-1\).
Q16. Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont correctes ?
Non vérifié
Indice
Développer soigneusement \((1+i)^2\).
Correction
\((1+i)^2=1+2i+i^2=2i\), donc la dernière affirmation est fausse. Les trois autres sont vraies.
Q17. Donner la solution de \(z+3i=0\).
Non vérifié
Indice
Isoler \(z\).
Correction
\(z+3i=0\Rightarrow \boxed{z=-3i}\).
Q18. Donner une solution de \(z^2=-1\).
Non vérifié
Indice
Il y a deux solutions possibles.
Correction
Les deux solutions sont \(\boxed{i}\) et \(\boxed{-i}\).
Q19. Résoudre \(z^2=16\). Donner une des solutions.
Non vérifié
Indice
Les solutions sont opposées.
Correction
Les deux solutions sont \(\boxed{4}\) et \(\boxed{-4}\).
Q20. Résoudre \(z^2=-4\). Donner une des solutions.
Non vérifié
Indice
Le second membre est négatif.
Correction
Les solutions sont \(\boxed{2i}\) et \(\boxed{-2i}\).
Q21. Compléter : le point associé au complexe \(z=-1+i\) a pour coordonnées ____ .
Non vérifié
Indice
Prendre la partie réelle puis la partie imaginaire.
Correction
\(-1+i\) correspond au point \(\boxed{(-1;1)}\).
Q22. Résoudre \((z-i)(z+2i)=0\). Donner une des solutions.
Non vérifié
Indice
Utiliser la propriété du produit nul.
Correction
Les solutions sont \(\boxed{i}\) et \(\boxed{-2i}\).