Equations Dans C
TERMINALE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Équations dans \(\mathbb{C}\)
Premier degré • équations du type \(z^2=a\) • factorisation • points du plan complexe.
Objectif : reconnaître la forme de l’équation et appliquer immédiatement la bonne méthode.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Relation fondamentale
\[
i^2=-1
\]
C’est la base de tous les calculs dans \(\mathbb{C}\).
2 Premier degré
\[
az+b=0 \quad (a\neq 0)
\Longrightarrow
z=-\frac{b}{a}
\]
3 Cas \(z^2=a\), \(a>0\)
\[
z=\pm \sqrt{a}
\]
4 Cas \(z^2=-a\), \(a>0\)
\[
z=\pm i\sqrt{a}
\]
5 Factorisation
Si
\[
(z-z_1)(z-z_2)=0,
\]
alors
\[
z=z_1 \quad \text{ou} \quad z=z_2.
\]
6 Lecture géométrique
À \(z=a+ib\), on associe le point \(M(a;b)\) du plan complexe.
Méthodes rapides
A Résoudre \(az+b=0\)
- Isoler \(az\).
- Diviser par \(a\).
- Simplifier si nécessaire.
\[
2z+5=0
\Rightarrow
2z=-5
\Rightarrow
z=-\frac{5}{2}
\]
B Résoudre \(z^2=a\)
- Regarder le signe de \(a\).
- Si \(a>0\), solutions réelles.
- Si \(a<0\), solutions imaginaires pures.
- Penser aux deux solutions opposées.
C Utiliser \(i^2=-1\)
\[
(2+i)^2 = 4+4i+i^2 = 4+4i-1 = 3+4i
\]
D Vérifier une solution
Je remplace la valeur trouvée dans l’équation initiale.
Si j’obtiens 0, la solution est correcte.
Pièges classiques
1 Faux calcul
\[
i^2 \neq 1
\]
mais
\[
i^2=-1.
\]
2 Oubli
Pour \(z^2=a\), il y a souvent deux solutions : \(+\) et \(-\).
3 Conclusion
Toujours conclure avec l’ensemble solution \(S=\{\dots\}\).
Mini-tests (corrigés rapides)
Q1 Calcul
Que vaut \(i^3\) ?
Corrigé : \(i^3=i^2\times i=-i\).
Q2 Premier degré
Résoudre \(z+3i=0\).
Corrigé : \(z=-3i\).
Q3 Type \(z^2=a\)
Résoudre \(z^2=-4\).
Corrigé : \(z=\pm 2i\).
Q4 Factorisation
Résoudre \((z-2)(z+1)=0\).
Corrigé : \(z=2\) ou \(z=-1\).
Q5 Lecture géométrique
Point associé à \(z=2-3i\) ?
Corrigé : \(M(2;-3)\).
Q6 Réel
Résoudre \(z^2=16\).
Corrigé : \(z=-4\) ou \(z=4\).
Checklist avant contrôle
Je sais faire
- Résoudre une équation du 1er degré dans \(\mathbb{C}\).
- Résoudre une équation \(z^2=a\).
- Utiliser \(i^2=-1\) dans un calcul.
- Factoriser une équation simple.
- Lire une solution dans le plan complexe.
Réflexes 20/20
1) J’identifie la forme de l’équation.
2) Je simplifie proprement avec \(i^2=-1\).
3) Je n’oublie jamais la seconde solution quand il y en a une.
2) Je simplifie proprement avec \(i^2=-1\).
3) Je n’oublie jamais la seconde solution quand il y en a une.
À bannir : réponses sans ensemble solution, oublis de signe, et confusion entre réel et imaginaire.